已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，其長軸長與短軸長的和等于6．
（1）求橢圓E的方程；
（2）如圖，設(shè)橢圓E的上、下頂點(diǎn)分別為A₁、A₂，P是橢圓上異于A₁、A₂的任意一點(diǎn)，直線PA₁、PA₂分別交x軸于點(diǎn)N、M，若直線OT與過點(diǎn)M、N的圓G相切，切點(diǎn)為T．證明：線段OT的長為定值．

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如圖，已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，A₁，A₂，B₁是橢圓C的頂點(diǎn)，若橢圓C的離心率e=

3

2

，且過點(diǎn)(

2

，

2

2

)．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）作直線l，使得l∥A₂B₁，且與橢圓C相交于P、Q兩點(diǎn)（異于橢圓C的頂點(diǎn)），設(shè)直線A₁P和直線B₁Q的傾斜角分別是α，β，求證：α+β=π．

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如圖，已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，A₁，A₂，B₁是橢圓C的頂點(diǎn)，若橢圓C的離心率e=

3

2

，且過點(diǎn)(

2

，

2

2

)．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）作直線l，使得l∥A₂B₁，且與橢圓C相交于P、Q兩點(diǎn)（異于橢圓C的頂點(diǎn)），設(shè)直線A₁P和直線B₁Q的傾斜角分別是α，β，求證：α+β=π．

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（2013•徐州三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率e=

3

2

，A₁，A₂分別是橢圓E的左、右兩個(gè)頂點(diǎn)，圓A₂的半徑為a，過點(diǎn)A₁作圓A₂的切線，切點(diǎn)為P，在x軸的上方交橢圓E于點(diǎn)Q．
（1）求直線OP的方程；
（2）求

PQ

QA1

的值；
（3）設(shè)a為常數(shù)，過點(diǎn)O作兩條互相垂直的直線，分別交橢圓于點(diǎn)B、C，分別交圓A點(diǎn)M、N，記三角形OBC和三角形OMN的面積分別為S₁，S₂．求S₁S₂的最大值．

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已知橢圓，A₁、A₂、B是橢圓的頂點(diǎn)（如圖），直線l與橢圓交于異于橢圓頂點(diǎn)的P、Q兩點(diǎn)，且l∥A₂B．若此橢圓的離心率為，且
（I）求此橢圓的方程；
（II）設(shè)直線A₁P和直線BQ的傾斜角分別為α、β，試判斷α+β是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請說明理由．

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一選擇題

題號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

B

D

A

D

D

B

D

B

A

C

D

C

提示：10．解：數(shù)列、都是公差為1的等差數(shù)列，其首項(xiàng)分別為、，且，．設(shè)（），則 ，所以是等差數(shù)列，所以的前項(xiàng)和

11．由題，消去可得：，又由題有：，由以上條件可得：點(diǎn)的軌跡為如圖所示的線段，而表示點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的平方，所以

12．設(shè)點(diǎn)到左準(zhǔn)線的距離為，則由雙曲線的第二定義有：，由題有，所以，又由第一定義（在右支上），所以，，又由點(diǎn)在右支上，則，，解得：，而，所以

二．填空題

13．       14．          15．         16．  1

提示：15．，， 在單調(diào)遞減，

16．如圖，設(shè)三棱錐得體積為,，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)三棱錐體積最大，過點(diǎn)作,連接，由題可知平面,由三垂線定理可知為側(cè)面與底面成的角，所以，而用等面積法可知：，，所以，代入，得

三．解答題

17．解：（1）取OB中點(diǎn)E，連接ME，NE

…………………………………………2分

又…………………………………4分

…………………………………………………………5分

（2）連接為異面直線與所成的角（或其補(bǔ)角）…7分

由于，所以,,為等腰三角形，……………………………………………………9分

  （3）解法一：連接，設(shè)點(diǎn)B到平面OCD的距離為，

由,,,為等腰三角形，

的高為，………11分

又，又 

點(diǎn)B到平面OCD的距離為…………………………………………13分

解法二：點(diǎn)A和點(diǎn)B到平面OCD的距離相等，取的中點(diǎn)P連

接OP,過點(diǎn)作 于點(diǎn)Q，，又

又 ,

線段AQ的長就是點(diǎn)A到平面OCD的距離, ………………………………12分

由題可知：,,在中.……13分

18．解：在中，

………………………………3分

   ……5分    ……………7分

(2)由余弦定理得，又由已知和（1）可知：

…………………………10分

………………………………13分

19．解：（Ⅰ）平面平面，…………2分

在中，，為中點(diǎn)．……………4分

平面，平面平面．……………6分

（Ⅱ）如圖，作交于點(diǎn)，連接，

由已知得平面．是在面內(nèi)的射影．

由三垂線定理知，為二面角的平面角．……………9分

過作交于點(diǎn)，則，，

．在中，．…………11分

在中，．，

即二面角為．………………………………13分

20．解答：（1）_{，，又因?yàn)?img src="http://pic.1010jiajiao.com/pic4/docfiles/down/test/down/d07a3e58e1ad645eea45ade1f438832b.zip/65942.files/image295.gif" >} 按向量平移后得函數(shù)_……..2分

由g(x)圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱得g(-x)=-g(x),即,

,…………………………………………………...4分

由

當(dāng)（舍）所以…….6分

（2）證明：因?yàn)?sub>

所以……………………………………8分

故                 ……………………………………9分

又   ……………………12分

所以     .……………………………………13分

21．解：（I）由已知可得

       ……2分    所以…3分  橢圓方程為……5分

   （II），且定值為    由（I），A₂（2，0），B（0，1），且//A₂B

       所以直線的斜率………………………………6分

       設(shè)直線的方程為

             解得：

即

   ………………………………………………8分

       ……………………9分

       又因?yàn)?sub>

          又

       是定值。…………12分

22．（1）（為正整數(shù)），

所以數(shù)列的反數(shù)列為的通項(xiàng)（為正整數(shù)）.   …………3分

（2）對于（1）中，不等式化為.

設(shè)，

，

∴數(shù)列單調(diào)遞增, 所以, ，要使不等式恒成立，只要.

∵，∴，又,

所以，使不等式對于任意正整數(shù)恒成立的的取值范圍是.…………7分（3）設(shè)公共項(xiàng)為正整數(shù).                    

①當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，.   ，

則（表示是的子數(shù)列），.所以的前項(xiàng)和.

② 當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，.，則，同樣有，.所以的前項(xiàng)和.                        …………12分