如圖,已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
,A1,A2,B1是橢圓C的頂點(diǎn),若橢圓C的離心率e=
3
2
,且過點(diǎn)(
2
,
2
2
)

(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)作直線l,使得l∥A2B1,且與橢圓C相交于P、Q兩點(diǎn)(異于橢圓C的頂點(diǎn)),設(shè)直線A1P和直線B1Q的傾斜角分別是α,β,求證:α+β=π.
分析:(Ⅰ)利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、離心率及其abc的關(guān)系即可得出;
(Ⅱ)把直線l的方程與橢圓的方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、平行線之間的斜率關(guān)系、直線斜率的計(jì)算公式、兩角和的正切公式即可得出.
解答:解:(Ⅰ)由已知得:
c
a
=
3
2
2
a2
+
1
2b2
=1
c2=a2-b2
,解得a=2,b=1,c=
3
.∴橢圓C的方程為
x2
4
+y2=1

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知:A1(-2,0),A2(2,0),B1(0,1).
kA2B1=-
1
2

∵l∥A1B1,∴kl=kA2B1=-
1
2

可設(shè)直線l的方程為y=-
1
2
x+m
,設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2).
聯(lián)立
y=-
1
2
x+m
x2
4
+y2=1
消去y得x2-2mx+2m2-2=0.
∵直線l與橢圓有不同的兩個(gè)交點(diǎn),
∴△=4m2-4(2m2-2)>0,即-
2
<m<
2
,
x1+x2=2m,x1x2=2m2-2
∵P,Q異于橢圓C的頂點(diǎn),∴α≠
π
2
,β≠
π
2
,∴tanα=kA1P=
y1
x1+2
,tanβ=kB1Q=
y2-1
x2

∴tanα+tanβ=
y1
x1+2
+
y2-1
x2
=
y1x2+x1y2+2y2-x1-2
x2(x1+2)

y1=-
1
2
x1+m
,y2=-
1
2
x2+m

∴tanα+tanβ=
(m-1)(x1+x2)-x1x2+2m-2
(x1+2)x2
=
2m(m-1)-(2m2-2)+2m-2
(x1+2)x2
=0,
tan(α+β)=
tanα+tanβ
1-tanαtanβ
=0

又∵α,β∈(0,π),∴α+β∈(0,2π),故α+β=π.
點(diǎn)評:熟練掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題的解法、根與系數(shù)的關(guān)系、平行線之間的斜率關(guān)系、直線斜率的計(jì)算公式、兩角和的正切公式是解題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為F1、F2、B,我們稱△F1BF2為橢圓C的特征三角形.如果兩個(gè)橢圓的特征三角形是相似的,則稱這兩個(gè)橢圓是“相似橢圓”,且三角形的相似比即為橢圓的相似比.
(1)已知橢圓C1
x2
4
+y2=1和C2
x2
16
+
y2
4
=1,判斷C2與C1是否相似,如果相似則求出C2與C1的相似比,若不相似請說明理由;
(2)已知直線l:y=x+1,在橢圓Cb上是否存在兩點(diǎn)M、N關(guān)于直線l對稱,若存在,則求出函數(shù)f(b)=|MN|的解析式.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1的離心率為
3
2
,過橢圓C上一點(diǎn)P(2,1)作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線,分別與橢圓交于點(diǎn)A、B,直線AB與x軸交于點(diǎn)M,與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)N.
(Ⅰ)求橢圓C的方程:
(Ⅱ)若S△PMN=
3
2
,求直線AB的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知橢圓C:
x2
36
+
y2
20
=1的左頂點(diǎn),右焦點(diǎn)分別為A,F(xiàn),右準(zhǔn)線為l,N為l上一點(diǎn),且在x軸上方,AN與橢圓交于點(diǎn)M.
(1)若AM=MN,求證:AM⊥MF;
(2)過A,F(xiàn),N三點(diǎn)的圓與y軸交于P,Q兩點(diǎn),求PQ的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•深圳一模)如圖,已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率為
3
2
,以橢圓C的左頂點(diǎn)T為圓心作圓T:(x+2)2+y2=r2(r>0),設(shè)圓T與橢圓C交于點(diǎn)M與點(diǎn)N.
(1)求橢圓C的方程;
(2)求
TM
TN
的最小值,并求此時(shí)圓T的方程;
(3)設(shè)點(diǎn)P是橢圓C上異于M,N的任意一點(diǎn),且直線MP,NP分別與x軸交于點(diǎn)R,S,O為坐標(biāo)原點(diǎn),求證:|OR|•|OS|為定值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的左頂點(diǎn),右焦點(diǎn)分別為A、F,右準(zhǔn)線為m.圓D:x2+y2+x-3y-2=0.
(1)若圓D過A、F兩點(diǎn),求橢圓C的方程;
(2)若直線m上不存在點(diǎn)Q,使△AFQ為等腰三角形,求橢圓離心率的取值范圍.
(3)在(1)的條件下,若直線m與x軸的交點(diǎn)為K,將直線l繞K順時(shí)針旋轉(zhuǎn)
π
4
得直線l,動點(diǎn)P在直線l上,過P作圓D的兩條切線,切點(diǎn)分別為M、N,求弦長MN的最小值.

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同步練習(xí)冊答案