題目列表(包括答案和解析)
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A、(-2,-1] |
B、[-1,0) |
C、(0,1] |
D、[1,2) |
已知曲線C:(m∈R)
(1) 若曲線C是焦點在x軸點上的橢圓,求m的取值范圍;
(2) 設(shè)m=4,曲線c與y軸的交點為A,B(點A位于點B的上方),直線y=kx+4與曲線c交于不同的兩點M、N,直線y=1與直線BM交于點G.求證:A,G,N三點共線。
【解析】(1)曲線C是焦點在x軸上的橢圓,當(dāng)且僅當(dāng)解得,所以m的取值范圍是
(2)當(dāng)m=4時,曲線C的方程為,點A,B的坐標(biāo)分別為,
由,得
因為直線與曲線C交于不同的兩點,所以
即
設(shè)點M,N的坐標(biāo)分別為,則
直線BM的方程為,點G的坐標(biāo)為
因為直線AN和直線AG的斜率分別為
所以
即,故A,G,N三點共線。
已知函數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)設(shè),若對任意,,不等式 恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
【解析】第一問利用的定義域是
由x>0及 得1<x<3;由x>0及得0<x<1或x>3,
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是(1,3);單調(diào)遞減區(qū)間是
第二問中,若對任意不等式恒成立,問題等價于只需研究最值即可。
解: (I)的定義域是 ......1分
............. 2分
由x>0及 得1<x<3;由x>0及得0<x<1或x>3,
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是(1,3);單調(diào)遞減區(qū)間是 ........4分
(II)若對任意不等式恒成立,
問題等價于, .........5分
由(I)可知,在上,x=1是函數(shù)極小值點,這個極小值是唯一的極值點,
故也是最小值點,所以; ............6分
當(dāng)b<1時,;
當(dāng)時,;
當(dāng)b>2時,; ............8分
問題等價于 ........11分
解得b<1 或 或 即,所以實數(shù)b的取值范圍是
(08年西城區(qū)抽樣測試?yán)恚┰O(shè)不等式組表示的平面區(qū)域是,若中的整點(即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點)共有個,則實數(shù)的取值范圍是( )
A. B. C. D.
已知,函數(shù)
(1)當(dāng)時,求函數(shù)在點(1,)的切線方程;
(2)求函數(shù)在[-1,1]的極值;
(3)若在上至少存在一個實數(shù)x0,使>g(xo)成立,求正實數(shù)的取值范圍。
【解析】本試題中導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運用。(1)中,那么當(dāng)時, 又 所以函數(shù)在點(1,)的切線方程為;(2)中令 有
對a分類討論,和得到極值。(3)中,設(shè),,依題意,只需那么可以解得。
解:(Ⅰ)∵ ∴
∴ 當(dāng)時, 又
∴ 函數(shù)在點(1,)的切線方程為 --------4分
(Ⅱ)令 有
① 當(dāng)即時
(-1,0) |
0 |
(0,) |
(,1) |
||
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
|
極大值 |
極小值 |
故的極大值是,極小值是
② 當(dāng)即時,在(-1,0)上遞增,在(0,1)上遞減,則的極大值為,無極小值。
綜上所述 時,極大值為,無極小值
時 極大值是,極小值是 ----------8分
(Ⅲ)設(shè),
對求導(dǎo),得
∵,
∴ 在區(qū)間上為增函數(shù),則
依題意,只需,即
解得 或(舍去)
則正實數(shù)的取值范圍是(,)
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