題目列表(包括答案和解析)
.(本小題滿分12分)
已知函數(shù),是常數(shù))在x=e處的切線方程為,既是函數(shù)的零點(diǎn),又是它的極值點(diǎn).
(1)求常數(shù)a,b,c的值;
(2)若函數(shù)在區(qū)間(1,3)內(nèi)不是單調(diào)函數(shù),求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間,并證明:
.(本小題滿分12分)
已知函數(shù),是常數(shù))在x=e處的切線方程為,既是函數(shù)的零點(diǎn),又是它的極值點(diǎn).
(1)求常數(shù)a,b,c的值;
(2)若函數(shù)在區(qū)間(1,3)內(nèi)不是單調(diào)函數(shù),求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間,并證明:
已知函數(shù)f(x)=alnx-x2+1.
(1)若曲線y=f(x)在x=1處的切線方程為4x-y+b=0,求實(shí)數(shù)a和b的值;
(2)若a<0,且對(duì)任意x1、x2∈(0,+∞),都|f(x1)-f(x2)|≥|x1-x2|,求a的取值范圍.
【解析】第一問中利用f′(x)=-2x(x>0),f′(1)=a-2,又f(1)=0,所以曲線y=f(x)在x=1處的切線方程為y=(a-2)(x-1),即(a-2)x-y+2-a=0,
由已知得a-2=4,2-a=b,所以a=6,b=-4.
第二問中,利用當(dāng)a<0時(shí),f′(x)<0,∴f(x)在(0,+∞)上是減函數(shù),
不妨設(shè)0<x1≤x2,則|f(x1)-f(x2)|=f(x1)-f(x2),|x1-x2|=x2-x1,
∴|f(x1)-f(x2)|≥|x1-x2|等價(jià)于f(x1)-f(x2)≥x2-x1,
即f(x1)+x1≥f(x2)+x2,結(jié)合構(gòu)造函數(shù)和導(dǎo)數(shù)的知識(shí)來解得。
(1)f′(x)=-2x(x>0),f′(1)=a-2,又f(1)=0,所以曲線y=f(x)在x=1處的切線方程為y=(a-2)(x-1),即(a-2)x-y+2-a=0,
由已知得a-2=4,2-a=b,所以a=6,b=-4.
(2)當(dāng)a<0時(shí),f′(x)<0,∴f(x)在(0,+∞)上是減函數(shù),
不妨設(shè)0<x1≤x2,則|f(x1)-f(x2)|=f(x1)-f(x2),|x1-x2|=x2-x1,
∴|f(x1)-f(x2)|≥|x1-x2|等價(jià)于f(x1)-f(x2)≥x2-x1,即f(x1)+x1≥f(x2)+x2,
令g(x)=f(x)+x=alnx-x2+x+1,g(x)在(0,+∞)上是減函數(shù),
∵g′(x)=-2x+1=(x>0),
∴-2x2+x+a≤0在x>0時(shí)恒成立,
∴1+8a≤0,a≤-,又a<0,
∴a的取值范圍是
ln2 |
2 |
ln3 |
3 |
ln4 |
4 |
ln2012 |
2012 |
1 |
2012 |
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