（2009•武漢模擬）已知數(shù)列{a_n}滿足：a1=a2=a3=k，an+1=

k+anan-1

an-2

(n≥3，n∈N*)其中k＞0，數(shù)列{b_n}滿足：bn=

an+an+2

an+1

(n=1，2，3，4…)
（1）求b₁，b₂，b₃，b₄；
（2）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（3）是否存在正數(shù)k，使得數(shù)列{a_n}的每一項(xiàng)均為整數(shù)，如果不存在，說(shuō)明理由，如果存在，求出所有的k．

（2009•武昌區(qū)模擬）已知數(shù)列{a_n} 滿足：a₁=2，a_n+1=2（1+

1

n

）²a_n（n∈N⁺）．
（1）求數(shù)列{a_n} 的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=（An²+Bn+C）•2ⁿ，試推斷是否存在常數(shù)A，B，C，使對(duì)一切n∈N⁺都有a_n=b_n+1-b_n成立？說(shuō)明你的理由；
（3）求證：a₁+a₂+…+a_n＜（n²-2n+2）•2ⁿ⁺²．

（2009•湖北模擬）已知數(shù)列{a_n}中，a₁=3，a₂=5，其前n項(xiàng)和S_n滿足S_n+S_n-2=2S_n-1+2^n-1（n≥3），令bn=

1

anan+1

（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）令T_n=b₁+b₂•2+b₃•2²+…b_n•2^n-1，
求證：①對(duì)于任意正整數(shù)n，都有Tn＜

1

6

．②對(duì)于任意的m∈(0，

1

6

)，均存在n₀∈N^*，使得n≥n₀時(shí)，T_n＞m．

（2009•上海模擬）已知數(shù)列{a_n滿足a₁=

2

5

，且對(duì)任意n∈N*，都有

an

an+1

=

4an+2

an+1+2

．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{

1

an

}為等差數(shù)列，并求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）試問(wèn)數(shù)列{a_n}中a_k•a_k+1是否仍是{a_n}中的項(xiàng)？如果是，請(qǐng)指出是數(shù)列的第幾項(xiàng)；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（2009•上海模擬）已知數(shù)列{a_n}滿足a1=

2

5

，且對(duì)任意n∈N^*，都有2a_n-2a_n+1=3a_na_n+1．
（1）求證：數(shù)列{

1

an

}為等差數(shù)列；
（2）試問(wèn)數(shù)列{a_n}中任意連續(xù)兩項(xiàng)的乘積a_k•a_k+1（k∈N^*）是否仍是{a_n}中的項(xiàng)？如果是，請(qǐng)指出是數(shù)列的第幾項(xiàng)；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．