Question

（2009•上海模擬）已知數(shù)列{a_n}滿足a1=

2

5

，且對(duì)任意n∈N^*，都有2a_n-2a_n+1=3a_na_n+1．
（1）求證：數(shù)列{

1

an

}為等差數(shù)列；
（2）試問(wèn)數(shù)列{a_n}中任意連續(xù)兩項(xiàng)的乘積a_k•a_k+1（k∈N^*）是否仍是{a_n}中的項(xiàng)？如果是，請(qǐng)指出是數(shù)列的第幾項(xiàng)；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）直接利用已知條件，通過(guò)等差數(shù)列的定義，證明數(shù)列{

1

an

}為等差數(shù)列；
（2）通過(guò)（1）求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后化簡(jiǎn)a_k•a_k+1（k∈N^*），使得為通項(xiàng)公式的形式，即可判斷是否是{a_n}中的項(xiàng)，然后求是數(shù)列的第幾項(xiàng)；

解答：解：（1）由2a_n-2a_n+1=3a_na_n+1，可得

1

an+1

-

1

an

=

3

2

，（3分）
所以數(shù)列{

1

an

}是以

5

2

為首項(xiàng)，公差為

3

2

的等差數(shù)列．                     （6分）
（2）由（1）可得數(shù)列{

1

an

}的通項(xiàng)公式為

1

an

=

3n+2

2

，所以an=

2

3n+2

．   （8分）ak•ak+1=

2

3k+2

•

2

3(k+1)+2

=

4

9k2+21k+10

=

2

9k2+21k+6 2 +2

=

2

3• 3k2+7k+2 2 +2

．                   （10分）
因?yàn)?span id="pvf7znh" class="MathJye">

3k2+7k+2

2

=k2+3k+1+

k(k+1)

2

，（11分）
當(dāng)k∈N^*時(shí)，

k(k+1)

2

一定是正整數(shù)，所以

3k2+7k+2

2

是正整數(shù)．     （13分）
所以a_k•a_k+1是數(shù)列{a_n}中的項(xiàng)，是第

3k2+7k+2

2

項(xiàng)．                 （14分）

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查等差數(shù)列的證明的方法，數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想、計(jì)算能力．