如圖，已知橢圓＝1(a＞b＞0)的離心率為，以該橢圓上的點(diǎn)和橢圓的左、右焦點(diǎn)F₁、F₂為頂點(diǎn)的三角形的周長為4(＋1)，一等軸雙曲線的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)，設(shè)P為該雙曲線上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，直線PF₁和PF₂與橢圓的交點(diǎn)分別為A、B和C、D.

(1)求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)直線PF₁、PF₂的斜率分別為k₁、k₂，證明：k₁·k₂＝1；

(3)是否存在常數(shù)λ，使得|AB|＋|CD|＝λ|AB|·|CD|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，請說明理由．

已知函數(shù)f(x)＝2^x＋a.

(1)對于任意實數(shù)x₁，x₂，試比較與f(－1)的大��；

(2)已知P＝[1,4]，若關(guān)于x的不等式f(ax²－4x)＞4＋a的解集為M，且P∩M≠∅，求實數(shù)a的取值范圍．

（本題滿分15分）已知橢圓＝1(a為常數(shù)，且a>1)，向量＝(1, t) (t >0)，過點(diǎn)A(－a, 0)且以為方向向量的直線與橢圓交于點(diǎn)B，直線BO交橢圓于點(diǎn)C（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．

(1) 求t表示△ABC的面積S( t )；

(2) 若a＝2，t∈[, 1]，求S( t )的最大值．

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，如圖，已知橢圓＝1的左、右頂點(diǎn)為A、B，右焦點(diǎn)為F.設(shè)過點(diǎn)T(t，m)的直線TA，TB與此橢圓分別交于點(diǎn)M(x₁，y₁)、N(x₂，y₂)，其中m＞0，y₁＞0，y₂＜0.

(1)設(shè)動點(diǎn)P滿足PF²－PB²＝4，求點(diǎn)P的軌跡；

(2)設(shè)x₁＝2，x₂＝，求點(diǎn)T的坐標(biāo)；

(3)設(shè)t＝9，求證：直線MN必過x軸上的一定點(diǎn)(其坐標(biāo)與m無關(guān))．

如圖，已知橢圓＝1(a＞b＞0)過點(diǎn)(1，)，離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂.點(diǎn)P為直線l：x＋y＝2上且不在x軸上的任意一點(diǎn)，直線PF₁和PF₂與橢圓的交點(diǎn)分別為A、B和C、D，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

(2)設(shè)直線PF₁、PF₂的斜率分別為k₁、k₂.

(ⅰ)證明：＝2.

(ⅱ)問直線l上是否存在點(diǎn)P，使得直線OA、OB、OC、OD的斜率k_OA、k_OB、k_OC、k_OD滿足k_OA＋k_OB＋k_OC＋k_OD＝0？若存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．