Question

如圖，已知橢圓＝1(a＞b＞0)過點(1，)，離心率為，左、右焦點分別為F₁、F₂.點P為直線l：x＋y＝2上且不在x軸上的任意一點，直線PF₁和PF₂與橢圓的交點分別為A、B和C、D，O為坐標原點．

(1)求橢圓的標準方程．

(2)設(shè)直線PF₁、PF₂的斜率分別為k₁、k₂.

(ⅰ)證明：＝2.

(ⅱ)問直線l上是否存在點P，使得直線OA、OB、OC、OD的斜率k_OA、k_OB、k_OC、k_OD滿足k_OA＋k_OB＋k_OC＋k_OD＝0？若存在，求出所有滿足條件的點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】 (1)解：因為橢圓過點(1，)，e＝，

所以＝1，＝.

又a²＝b²＋c²，

所以a＝，b＝1，c＝1.

故所求橢圓方程為＋y²＝1.

(2)(ⅰ)證明：方法一：由于F₁(－1,0)、F₂(1,0)，PF₁、PF₂的斜率分別為k₁、k₂，且點P不在x軸上，

所以k₁≠k₂，k₁≠0，k₂≠0.

又直線PF₁，PF₂的方程分別為y＝k₁(x＋1)，y＝k₂(x－1)，

聯(lián)立方程解得

所以P(，)．

由于點P在直線x＋y＝2上，

所以＝2.

因此2k₁k₂＋3k₁－k₂＝0，

即＝2，結(jié)論成立．

方法二：設(shè)P(x₀，y₀)，則k₁＝，k₂＝.

因為點P不在x軸上，所以y₀≠0.

又x₀＋y₀＝2，

所以＝2.

因此結(jié)論成立．

(ⅱ)解：設(shè)A(x_A，y_A)，B(x_B，y_B)，C(x_C，y_C)，D(x_D，y_D)．

聯(lián)立直線PF₁與橢圓的方程得

化簡得(2k＋1)x²＋4kx＋2k－2＝0，

因此x_A＋x_B＝－，x_Ax_B＝，

由于OA，OB的斜率存在，

所以x_A≠0，x_B≠0，因此k≠0,1.

因此k_OA＋k_OB＝

＝2k₁＋k₁＝k₁(2－)

＝－＝－.

相似地，可以得到x_C≠0，x_D≠0，k≠0,1，k_OC＋k_OD＝－，

故k_OA＋k_OB＋k_OC＋k_OD＝－2(＋)

＝－2＝－.

若k_OA＋k_OB＋k_OC＋k_OD＝0，

須有k₁＋k₂＝0或k₁k₂＝1.

①當(dāng)k₁＋k₂＝0時，結(jié)合(ⅰ)的結(jié)論，可得k₂＝－2，所以解得點P的坐標為(0,2)；

②當(dāng)k₁k₂＝1時，結(jié)合(ⅰ)的結(jié)論，解得k₂＝3或k₂＝－1(此時k₁＝－1，不滿足k₁≠k₂，舍去)，此時直線CD的方程為y＝3(x－1)，聯(lián)立方程x＋y＝2得x＝，y＝.

因此P(，)．綜上所述，滿足條件的點P的坐標分別為(0,2)，(，)．