設(shè)f（x）是定義在[a，b]上的函數(shù)，用分點(diǎn)T：a=x₀＜x₁＜…＜x_i-1＜x_i＜…x_n=b將區(qū)間[a，b]任意劃分成n個(gè)小區(qū)間，如果存在一個(gè)常數(shù)M＞0，使得和

n

i=1

|f(xi)-f(xi-1)|≤M（i=1，2，…，n）恒成立，則稱(chēng)f（x）為[a，b]上的有界變差函數(shù)．
（1）函數(shù)f（x）=x²在[0，1]上是否為有界變差函數(shù)？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）是[a，b]上的單調(diào)遞減函數(shù)，證明：f（x）為[a，b]上的有界變差函數(shù)；
（3）若定義在[a，b]上的函數(shù)f（x）滿足：存在常數(shù)k，使得對(duì)于任意的x₁、x₂∈[a，b]時(shí)，|f（x₁）-f（x₂）|≤k•|x₁-x₂|．證明：f（x）為[a，b]上的有界變差函數(shù)．

已知函數(shù)f（x）定義在區(qū)間（-1，1）上，f（

1

2

）=-1，且當(dāng)x，y∈（-1，1）時(shí)，恒有f（x）-f（y）=f（

x-y

1-xy

），又?jǐn)?shù)列{a_n}滿足a₁=

1

2

，a_n+1=

2an

1+ a 2 n

，設(shè)b_n=

1

f(a1)

+

1

f(a2)

+…+

1

f(an)

．
（1）證明：f（x）在（-1，1）上為奇函數(shù)；
（2）求f（a_n）的表達(dá)式；
（3）是否存在正整數(shù)m，使得對(duì)任意n∈N，都有b_n＜

m-8

4

成立，若存在，求出m的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

已知函數(shù)f（x）定義在區(qū)間（-1，1）上，f(

1

2

)=-1，對(duì)任意x、y∈（-1，1），恒有f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)成立，又?jǐn)?shù)列a_n滿足a1=

1

2

，an+1=

2an

1+an 2

，
設(shè)bn=

1

f(a1)

+

1

f(a2)

+

1

f(a3)

+…+

1

f(an)

．
（1）在（-1，1）內(nèi)求一個(gè)實(shí)數(shù)t，使得f(t)=2f(

1

2

)；
（2）證明數(shù)列f（a_n）是等比數(shù)列，并求f（a_n）的表達(dá)式和

lim

n→∞

bn的值；
（3）設(shè)cn=

n

2

bn+2，是否存在m∈N⁺，使得對(duì)任意n∈N⁺，cn＜

6

7

log

2 2

m-

18

7

log2m 恒成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

已知f₁（x）=|3^x-1|，f₂（x）=|a•3^x-9|（a＞0），x∈R，且．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）在x=1處的切線方程；
（Ⅱ）當(dāng)2≤a＜9時(shí)，設(shè)f（x）=f₂（x）所對(duì)應(yīng)的自變量取值區(qū)間的長(zhǎng)度為l（閉區(qū)間[m，n]的長(zhǎng)度定義為n-m），試求l的最大值；
（Ⅲ）是否存在這樣的a，使得當(dāng)x∈[2，+∞）時(shí)，f（x）=f₂（x）？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．