Question

已知函數(shù)f（x）定義在區(qū)間（-1，1）上，f(

1

2

)=-1，對任意x、y∈（-1，1），恒有f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)成立，又?jǐn)?shù)列a_n滿足a1=

1

2

，an+1=

2an

1+an 2

，
設(shè)bn=

1

f(a1)

+

1

f(a2)

+

1

f(a3)

+…+

1

f(an)

．
（1）在（-1，1）內(nèi)求一個實數(shù)t，使得f(t)=2f(

1

2

)；
（2）證明數(shù)列f（a_n）是等比數(shù)列，并求f（a_n）的表達(dá)式和

lim

n→∞

bn的值；
（3）設(shè)cn=

n

2

bn+2，是否存在m∈N⁺，使得對任意n∈N⁺，cn＜

6

7

log

2 2

m-

18

7

log2m 恒成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）令x=y=

1

2

可得，f(

1

2

)+f(

1

2

)=f(

1 2 + 1 2

1+ 1 2 × 1 2

)=f(

4

5

)=-2，從而可求t
（2）由a1=

1

2

，an+1=

2an

1+an 2

可令x=y=a_n可得2f(an)=f(

2an

1+ a 2 n

)=f(an+1)，從而可證，結(jié)合等比數(shù)列的通項公式可求f（a_n）；利用等比數(shù)列的求和公式可求bn=

1

f(a1)

+

1

f(a2)

+

1

f(a3)

+…+

1

f(an)

（3）用等比數(shù)列的求和公式可求bn=

1

f(a1)

+

1

f(a2)

+

1

f(a3)

+…+

1

f(an)

，代入可求cn=

n

2

bn+2=-n+

n

2n

+2，由c_n 是遞減數(shù)列，可得cn≤c1=-1+

1

2

+2=

3

2

，只須6lo

g

2 2

m-18log2m＞

21

2

，解不等式可求m的最小正數(shù)值

解答：解：（1）令x=y=

1

2

可得，f(

1

2

)+f(

1

2

)=f(

1 2 + 1 2

1+ 1 2 × 1 2

)=f(

4

5

)=-2
∵f(t)=2f(

1

2

)=-2∴t=

4

5

（2）∵a1=

1

2

，an+1=

2an

1+an 2

令x=y=a_n可得2f(an)=f(

2an

1+ a 2 n

)=f(an+1)，f(a1)=f(

1

2

)=-1
∴數(shù)列{f（a_n）}是以-1為首項，以2為公比的等比數(shù)列
∴f（a_n）=-2^n-1
bn=

1

f(a1)

+

1

f(a2)

+

1

f(a3)

+…+

1

f(an)

=-（

1

20

+

1

21

+…

1

2n-1

）
=-

1-( 1 2 )n

1- 1 2

=-2+(

1

2

)n-1
∴

lim

x→∞

bn=

-1

1- 1 2

=-2．
（3）由（2）得，bn=

1

f(a1)

+

1

f(a2)

+

1

f(a3)

+…+

1

f(an)

=-（

1

20

+

1

21

+…

1

2n-1

）
∴cn=

n

2

bn+2=-n+

n

2n

+2，∴c_n 是遞減數(shù)列，
∴cn≤c1=-1+

1

2

+2=

3

2

，只須6lo

g

2 2

m-18log2m＞

21

2

，
即4log₂²m-12log₂m-7＞0，
解可得，log2m＜-

1

2

或log2m＞

7

2

∴0＜m＜

2

2

≈0.71或，m＞8

2

≈11.31
∴當(dāng)m≥12，且m∈N^* 時，7c_n＜6log₂²m-18log₂m 對任意n∈N^* 恒成立，
∴m 的最小正整數(shù)值為12．

點評：本題主要考查了借、借助抽象函數(shù)的關(guān)系求解數(shù)列的項及通項公式，解題的關(guān)鍵是要根據(jù)函數(shù)關(guān)系合理的賦值，還考查了等比數(shù)列的通項公式及求和公式及數(shù)列單調(diào)性求數(shù)列最值的應(yīng)用，綜合的知識較多．