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20．若存在實(shí)常數(shù)和.使得函數(shù)和對其定義域上的任意實(shí)數(shù)分別滿足:和.則稱直線為和的“隔離直線．已知.(其中為自然對數(shù)的底數(shù))．【查看更多】

（本小題滿分14分）對于定義在區(qū)間D上的函數(shù)，若存在閉區(qū)間和常數(shù)，使得對任意，都有，且對任意∈D，當(dāng)時，恒成立，則稱函數(shù)為區(qū)間D上的“平底型”函數(shù).
（Ⅰ）判斷函數(shù)和是否為R上的“平底型”函數(shù)？并說明理由；
（Ⅱ）設(shè)是（Ⅰ）中的“平底型”函數(shù)，k為非零常數(shù)，若不等式對一切R恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（Ⅲ）若函數(shù)是區(qū)間上的“平底型”函數(shù)，求和的值.
.

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（本小題滿分14分）設(shè)函數(shù)（），．

(Ⅰ)令，討論的單調(diào)性；

（Ⅱ）關(guān)于的不等式的解集中的整數(shù)恰有3個，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）對于函數(shù)與定義域上的任意實(shí)數(shù)，若存在常數(shù)，使得和都成立，則稱直線為函數(shù)與的“分界線”．設(shè)，，試探究與是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請說明理由．

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（本小題滿分14分）對于定義在區(qū)間D上的函數(shù)，若存在閉區(qū)間和常數(shù)，使得對任意，都有，且對任意∈D，當(dāng)時，恒成立，則稱函數(shù)為區(qū)間D上的“平底型”函數(shù).

（Ⅰ）判斷函數(shù)和是否為R上的“平底型”函數(shù)？并說明理由；

（Ⅱ）設(shè)是（Ⅰ）中的“平底型”函數(shù)，k為非零常數(shù)，若不等式對一切R恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）若函數(shù)是區(qū)間上的“平底型”函數(shù)，求和的值.

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（本小題滿分14分）

　　已知：函數(shù)（），．

　　（1）若函數(shù)圖象上的點(diǎn)到直線距離的最小值為，求的值；

　�。�2）關(guān)于的不等式的解集中的整數(shù)恰有3個，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

　�。�3）對于函數(shù)與定義域上的任意實(shí)數(shù)，若存在常數(shù)，使得不等式和都成立，則稱直線為函數(shù)與的“分界線”。設(shè)，，試探究與是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請說明理由．

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（本小題滿分14分）設(shè)函數(shù)（），．
(Ⅰ)令，討論的單調(diào)性；
（Ⅱ）關(guān)于的不等式的解集中的整數(shù)恰有3個，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（Ⅲ）對于函數(shù)與定義域上的任意實(shí)數(shù)，若存在常數(shù)，使得和都成立，則稱直線為函數(shù)與的“分界線”．設(shè)，，試探究與是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請說明理由．

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一、ACBCD DDCAB

二、11。_{12。12
13。}

14。

15。②③⑤

三、16解：（I）

。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 4分

。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 6分

（II）

。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 8分

。。。。。。。。。。。。。。。。。。。. 9分

。。。。。。。。。。。。。。。。。。。. 12分

當(dāng) 。。。。。。。。。。。。。。 13分

17解（1）連接B₁C，交BC₁于點(diǎn)O，則O為B₁C的中點(diǎn)，

∵D為AC中點(diǎn) ∴OD∥B₁A。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 4分

又B₁A平面BDC₁，OD平面BDC₁

∴B₁A∥平面BDC₁ 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分

（2）∵AA₁⊥面ABC，BC⊥AC，AA₁∥CC₁

∴CC₁⊥面ABC 則BC⊥平面AC₁，CC₁⊥AC

如圖以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA所在直線為X軸，CB所在直線為Y軸，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系則C₁(0,0,3) B(0,2,0) D(1,0,0) C(0,0,0) 。。。。。。。。。。。。。。。。。 8分

∴設(shè)平面的法向量為由得

，取，則。。。。。。。。。10分

又平面BDC的法向量為。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 11分

cos

∴二面角C₁―BD―C的余弦值為。。。。。。。。。13分

18解：（I）設(shè)周五有語文、數(shù)學(xué)、外語三科作業(yè)分別為事件A₁、A₂、A₃周五沒有語文、數(shù)學(xué)、外語三科作業(yè)為事件A，則由已知表格得

、、。。。。。。。。。。。。2分

。。。。。。。。。。4分

（II）設(shè)一周內(nèi)有數(shù)學(xué)作業(yè)的天數(shù)為，則

。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。10分

所以隨機(jī)變量的概率分布列如下：

0

1

2

3

4

5

P

故。。。。。。。。。。13分

19解:(Ⅰ)由題意,可設(shè)拋物線方程為.

由,得.拋物線的焦點(diǎn)為,.

拋物線D的方程為. 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分

(Ⅱ)設(shè)A由于O為PQ之中點(diǎn),故當(dāng)軸時由拋物線的對稱性知。。。。。。。。。。。。。。。。。。

當(dāng)不垂直軸時,設(shè):,

由,

,,

…

(Ⅲ)設(shè)存在直線滿足題意,則圓心,過M作直線的垂線,

垂足為E, 設(shè)直線與圓交于點(diǎn)，可得,

即 =

=

==

當(dāng)時,,此時直線被以AP為直徑的圓截得的弦長恒為定值.…12分

因此存在直線滿足題意. ……13分

20解：(Ⅰ) ，

．。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分

當(dāng)時，．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。3分

當(dāng)時，，此時函數(shù)遞減；

當(dāng)時，，此時函數(shù)遞增；

∴當(dāng)時，取極小值，其極小值為．。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分

(Ⅱ)解法一：由（Ⅰ）可知函數(shù)和的圖像在處有公共點(diǎn)，因此若存在和的隔離直線，則該直線過這個公共點(diǎn)．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。7分

設(shè)隔離直線的斜率為，則直線方程為，

即．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分

由，可得當(dāng)時恒成立．

，由，得．。。。。。。。。。。。。。。。。。10分

下面證明當(dāng)時恒成立．

令，則

，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。11分

當(dāng)時，．

當(dāng)時，，此時函數(shù)遞增；

當(dāng)時，，此時函數(shù)遞減；

∴ 當(dāng)時，取極大值，也是最大值，其最大值為．

從而，即恒成立．。。。。。。。13分

∴ 函數(shù)和存在唯一的隔離直線．。。。。。。。。。。。。。。。14分

解法二：由(Ⅰ)可知當(dāng)時， (當(dāng)且當(dāng)時取等號) ．。。。。。7分

若存在和的隔離直線，則存在實(shí)常數(shù)和，使得

和恒成立，

令，則且

，即．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分

后面解題步驟同解法一．

21（！）解：PQ＝，

PQ矩陣表示的變換T：滿足條件

.　　所以。。。。。。。。。。。。。。。。。。（3分）

直線任取點(diǎn)，則點(diǎn)在直線上，

故，又，得　所以　。。。。。（7分）

(2) （Ⅰ）曲線C的極坐標(biāo)方程是化為直角坐標(biāo)方程為:

直線的直角坐標(biāo)方程為：。。。。。。。。。3分

（Ⅱ）（法一）由（1）知：圓心的坐標(biāo)為（2，0），圓的半徑R=2，

圓心到直線l的距離

或。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。7分

（法二）把（是參數(shù)）代入方程,

得,

.

或。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。7分

(3) 解:（Ⅰ）

函數(shù)如圖所示。。。。。。。。。。。。。3分

（Ⅱ）由題設(shè)知：

如圖，在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象

（如圖所示）又解集為.

由題設(shè)知，當(dāng)或時，且即

由得：。。。。。。。。。。。。。。。。7分

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