長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的側(cè)棱AA₁=a，底面ABCD的邊長(zhǎng)AB=2a，BC=a，E為C₁D₁的中點(diǎn)；
（1）求證：DE⊥平面BCE；
（2）求二面角E-BD-C的正切值．

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棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁C₁∩B₁D₁=O．
①求異面直線OA與BD₁所成角的余弦值；
②求OA與平面BB₁D₁D所成角的余弦值．

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長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=1，AA₁=2，E是側(cè)棱BB₁的中點(diǎn)．
（I）求證：直線AE⊥平面A₁D₁E；
（II）求三棱錐A-A₁D₁E的體積．

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長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA1=

2

，AB=BC=2，O是底面對(duì)角線的交點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：B₁D₁∥平面BC₁D；
（Ⅱ）求證：A₁O⊥平面BC₁D；
（Ⅲ）求三棱錐A₁-DBC₁的體積．

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棱長(zhǎng)為a的正方體A₁B₁C₁D₁-ABCD中，O為面ABCD的中心．
（1）求證：AC₁⊥平面B₁CD₁；
（2）求四面體OBC₁D₁的體積；
（3）線段AC上是否存在P點(diǎn)（不與A點(diǎn)重合），使得A₁P∥面CC₁D₁D？如果存在，請(qǐng)確定P點(diǎn)位置，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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說(shuō)明：1．參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)指出了每道題要考查的主要知識(shí)和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與參考答案不同，可根據(jù)試題主要考查的知識(shí)點(diǎn)和能力比照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)給以相應(yīng)的分?jǐn)?shù)．

2．對(duì)解答題中的計(jì)算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，如果后繼部分的解答未改變?cè)擃}的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的得分，但所給分?jǐn)?shù)不得超過(guò)該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再給分．

3．解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)．

4．只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，選擇題和填空題不給中間分．

一、選擇題：本大題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算．共10小題，每小題5分，滿分50分．

題號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

B

A

C

C

D

A

B

D

C

B

二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，滿分20分．其中14～15題是選做題，考生只能選做一題，兩題全答的，只計(jì)算前一題得分．第13題第1個(gè)空3分,第2個(gè)空2分.

11．0         12．79         13．，        14．1       15．6

三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程和演算步驟．

16．（本小題主要考查三角函數(shù)性質(zhì)和三角函數(shù)的基本關(guān)系等知識(shí)，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及運(yùn)算求解能力）

解：（1）

                 ．                     
    ∵R，

∴函數(shù)的值域?yàn)?sub>．                                      

（2）∵，，

∴，．

∵都是銳角，

∴，．             

∴                                          

∴的值為．                             

17．（本小題主要考查古典概型等基礎(chǔ)知識(shí)，考查化歸和轉(zhuǎn)化、分類與整合的數(shù)學(xué)思想方法，以及簡(jiǎn)單的推理論證能力）

解：由于實(shí)數(shù)對(duì)的所有取值為：，，，，，，，，，，，，，，，，共16種．                                         

設(shè)“直線不經(jīng)過(guò)第四象限”為事件，“直線與圓有公共點(diǎn)”為事件．                                                 

（1）若直線不經(jīng)過(guò)第四象限，則必須滿足             

即滿足條件的實(shí)數(shù)對(duì)有，，，，共4種． 

∴．

故直線不經(jīng)過(guò)第四象限的概率為．                     

（2）若直線與圓有公共點(diǎn)，則必須滿足≤1，即≤．

若，則符合要求，此時(shí)實(shí)數(shù)對(duì)（）有4種不同取值；

若，則符合要求，此時(shí)實(shí)數(shù)對(duì)（）有2種不同取值；

若，則符合要求，此時(shí)實(shí)數(shù)對(duì)（）有2種不同取值；

若，則符合要求，此時(shí)實(shí)數(shù)對(duì)（）有4種不同取值．

∴滿足條件的實(shí)數(shù)對(duì)共有12種不同取值．                     

∴．

故直線與圓有公共點(diǎn)的概率為．            

18．（本小題主要考查空間線面關(guān)系、幾何體的表面積與體積等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、運(yùn)算求解能力）

（1）證法1：如圖，連結(jié)，

∵是長(zhǎng)方體，

∴且．

∴四邊形是平行四邊形．

∴．

∵平面，平面，

∴平面．                                           

證法2：∵是長(zhǎng)方體，

∴平面平面．

∵平面，平面，

∴平面．                                            

（2）解：設(shè)，∵幾何體的體積為，

∴，                        

即，

即，解得．

∴的長(zhǎng)為4．                                                  

（3）如圖，連結(jié)，設(shè)的中點(diǎn)為，連

∵是長(zhǎng)方體，∴平面．

∵平面，∴．

∴．同理．

∴．

∴經(jīng)過(guò)，，，四點(diǎn)的球的球心為點(diǎn)．                   

∵．                 

∴．

故經(jīng)過(guò)，，，四點(diǎn)的球的表面積為．                 

19．（本小題主要考查橢圓、圓的方程和圓與圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合思想，以及運(yùn)算求解能力）

解：（1）∵橢圓的離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，

∴                                                

即解得

∴橢圓的方程為．                                   

（2）∵，，∴．

∴橢圓的左焦點(diǎn)坐標(biāo)為.                                  

以橢圓的長(zhǎng)軸為直徑的圓的方程為，圓心坐標(biāo)是，半徑為2.

以為直徑的圓的方程為，圓心坐標(biāo)是，半徑為.

∵兩圓心之間的距離為，

故以為直徑的圓與以橢圓長(zhǎng)軸為直徑的圓內(nèi)切.                  

20．（本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)求和公式等知識(shí)，考查化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合的數(shù)學(xué)思想方法，以及推理論證能力和運(yùn)算求解能力）

解：設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，           

若，，成等差數(shù)列，

則．                                             

∴．

∵，，∴．

解得或．                                          

當(dāng)時(shí)，∵，，，         

∴．

∴當(dāng)時(shí)，，，不成等差數(shù)列．                      

當(dāng)時(shí)，，，成等差數(shù)列．下面給出兩種證明方法．

證法1：∵

                          ，

∴．

∴當(dāng)時(shí)，，，成等差數(shù)列．                     

證法2：∵，

又

， 

∴．

∴當(dāng)時(shí)，，，成等差數(shù)列．                

21．（本小題主要考查函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等知識(shí)，考查化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合的數(shù)學(xué)思想方法，以及抽象概括能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力）

（1）解法1：∵，其定義域?yàn)?sub>，         

∴．                                            

∵是函數(shù)的極值點(diǎn)，

∴，即，                                          

∵，∴．

經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，=1是函數(shù)的極值點(diǎn)，

∴．        ?                                           

解法2：∵，其定義域?yàn)?sub>，               

∴．                                            

令，即，整理得，．

∵，

∴的兩個(gè)實(shí)根（舍去），，

當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表：