精英家教網(wǎng)長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=2,E是側(cè)棱BB1的中點(diǎn).
(I)求證:直線AE⊥平面A1D1E;
(II)求三棱錐A-A1D1E的體積.
分析:(I)根據(jù)已知中長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=2,E是側(cè)棱BB1的中點(diǎn),結(jié)合長方體的幾何特征,我們可得AE⊥A1E,AE⊥A1D1,結(jié)合線面垂直的判定定理即可得到AE⊥平面A1D1E;
(II)由(I)的結(jié)論,我們可得AE即為三棱錐A-A1D1E的高,根據(jù)已知求出三棱錐的底面積,代入棱錐體積公式,即可求出三棱錐A-A1D1E的體積.
解答:精英家教網(wǎng)解:(I)證明:∵長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=2,E是側(cè)棱BB1的中點(diǎn)
∴AE=A1E=
2
,AA1=2,
∴AA12=AE2+A1E2
∴AE⊥A1E
又∵D1A1⊥平面A1EA,AE?平面A1EA
∴AE⊥A1D1,又D1A1∩A1E=A1,
∴AE⊥平面A1D1E;
(II)由(I)中AE⊥平面A1D1E,
VA-A1D1E=
1
3
S△A1D1E•AE=
1
3
×
1
2
×1×
2
×
2
=
1
3
點(diǎn)評(píng):本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與平面垂直的判定,棱錐的體積,(1)中的關(guān)鍵是根據(jù)正方體的幾何特征及勾股定理得到AE⊥A1E,AE⊥A1D1,(2)的關(guān)鍵是證得AE即為三棱錐A-A1D1E的高.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,過A1、C1、B三點(diǎn)的平面截去長方體的一個(gè)角后,得到如圖所示的幾何體ABCD-A1C1D1,且這個(gè)幾何體的體積為10.
(1)求棱A1A的長;
(2)求點(diǎn)D到平面A1BC1的距離.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=A1A=a,BC=
2
a,M是AD中點(diǎn),N是B1C1中點(diǎn).
(1)求證:A1、M、C、N四點(diǎn)共面;
(2)求證:BD1⊥MCNA1;
(3)求證:平面A1MNC⊥平面A1BD1;
(4)求A1B與平面A1MCN所成的角.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,BC=4,AA1=5 則三棱錐A1-ABC的體積為( 。
A、10B、20C、30D、35

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知多面體ABCD-A1B1C1D1,它是由一個(gè)長方體ABCD-A'B'C'D'切割而成,這個(gè)長方體的高為b,底面是邊長為a的正方形,其中頂點(diǎn)A1,B1,C1,D1均為原長方體上底面A'B'C'D'各邊的中點(diǎn).
(1)若多面體面對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)O,E為線段AA1的中點(diǎn),求證:OE∥平面A1C1C;
(2)若a=4,b=2,求該多面體的體積;
(3)當(dāng)a,b滿足什么條件時(shí)AD1⊥DB1,并證明你的結(jié)論.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=2,E是側(cè)棱BB1的中點(diǎn).
(1)求證:A1E⊥平面ADE;
(2)求三棱錐A1-ADE的體積.

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