一支車隊有15輛車，某天依次出發(fā)執(zhí)行運輸任務，第一輛車于下午2時出發(fā)，第二輛車于下午2時10分出發(fā)，第三輛車于下午2時20分出發(fā)，依此類推。假設所有的司機都連續(xù)開車，并都在下午6時停下來休息。

（1）到下午6時最后一輛車行駛了多長時間？

（2）如果每輛車的行駛速度都是60，這個車隊當天一共行駛了多少千米?

【解析】第一問中，利用第一輛車出發(fā)時間為下午2時，每隔10分鐘即小時出發(fā)一輛

則第15輛車在小時，最后一輛車出發(fā)時間為：小時

第15輛車行駛時間為：小時（1時40分）

第二問中，設每輛車行駛的時間為:,由題意得到

是以為首項，為公差的等差數列

則行駛的總時間為：

則行駛的總里程為：運用等差數列求和得到。

解：（1）第一輛車出發(fā)時間為下午2時，每隔10分鐘即小時出發(fā)一輛

則第15輛車在小時，最后一輛車出發(fā)時間為：小時

第15輛車行駛時間為：小時（1時40分）         ……5分

（2）設每輛車行駛的時間為:,由題意得到

是以為首項，為公差的等差數列

則行駛的總時間為：    ……10分

則行駛的總里程為：

 

已知數列是公差不為零的等差數列，，且、、成等比數列。

⑴求數列的通項公式；

⑵設，求數列的前項和。

【解析】第一問中利用等差數列的首項為，公差為d，則依題意有：

第二問中，利用第一問的結論得到數列的通項公式，

，利用裂項求和的思想解決即可。

 

已知函數；

（1）若函數在其定義域內為單調遞增函數，求實數的取值范圍。

（2）若函數，若在[1，e]上至少存在一個x的值使成立，求實數的取值范圍。

【解析】第一問中，利用導數，因為在其定義域內的單調遞增函數，所以 內滿足恒成立，得到結論第二問中，在[1，e]上至少存在一個x的值使成立，等價于不等式 在[1，e]上有解，轉換為不等式有解來解答即可。

解：（1），

因為在其定義域內的單調遞增函數，

所以 內滿足恒成立，即恒成立，

亦即，

即可  又

當且僅當，即x=1時取等號，

在其定義域內為單調增函數的實數k的取值范圍是.

（2）在[1，e]上至少存在一個x的值使成立，等價于不等式 在[1，e]上有解，設

 上的增函數，依題意需

實數k的取值范圍是

 

已知，函數

（1）當時，求函數在點(1，)的切線方程；

(2)求函數在[－1，1]的極值；

(3)若在上至少存在一個實數x₀，使>g(x_o)成立，求正實數的取值范圍。

【解析】本試題中導數在研究函數中的運用。（1）中，那么當時，  又    所以函數在點(1，)的切線方程為；（2）中令   有 

對a分類討論，和得到極值。（3）中，設，，依題意，只需那么可以解得。

解：（Ⅰ）∵  ∴

∴  當時，  又    

∴  函數在點(1，)的切線方程為 --------4分

（Ⅱ）令   有 

①         當即時

	（－1，0）	0	（0，）		（，1）
	+	0	－	0	+
		極大值		極小值

故的極大值是，極小值是

②         當即時，在（－1,0）上遞增，在（0,1）上遞減，則的極大值為，無極小值。 

綜上所述   時，極大值為，無極小值

時  極大值是，極小值是        ----------8分

（Ⅲ）設，

對求導，得

∵，    

∴ 在區(qū)間上為增函數，則

依題意，只需，即 

解得  或（舍去）

則正實數的取值范圍是（，）

 

如圖，，，…，，…是曲線上的點，，，…，，…是軸正半軸上的點，且，，…，，… 均為斜邊在軸上的等腰直角三角形（為坐標原點）．

（1）寫出、和之間的等量關系，以及、和之間的等量關系；

（2）求證：（）；

（3）設，對所有，恒成立，求實數的取值范圍．

【解析】第一問利用有，得到

第二問證明：①當時，可求得，命題成立；②假設當時，命題成立，即有則當時，由歸納假設及，

得

第三問 

．………………………2分

因為函數在區(qū)間上單調遞增，所以當時，最大為，即

解：（1）依題意，有，，………………4分

（2）證明：①當時，可求得，命題成立； ……………2分

②假設當時，命題成立，即有，……………………1分

則當時，由歸納假設及，

得．

即

解得（不合題意，舍去）

即當時，命題成立．  …………………………………………4分

綜上所述，對所有，．    ……………………………1分

（3） 

．………………………2分

因為函數在區(qū)間上單調遞增，所以當時，最大為，即

．……………2分

由題意，有． 所以，