如圖所示的幾何體是由以等邊三角形ABC為底面的棱柱被平面DEF所截而得，已知FA⊥平面ABC，AB=2，BD=1，AF=2，CE=3，O為AB的中點．
（Ⅰ）求平面DEF與平面ABC相交所成銳角二面角的余弦值；
（Ⅱ）在DE上是否存在一點P，使CP⊥平面DEF？如果存在，求出DP的長；若不存在，說明理由．

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如圖的多面體是底面為平行四邊形的直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，經平面AEFG所截后得到的圖形．其中∠BAE=∠GAD=45°，AB=2AD=2，∠BAD=60°．
（1）求證：BD⊥平面ADG．
（2）求平面AEFG與平面ABCD所成銳二面角的余弦值．

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如圖的多面體是直平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁經平面AEFG所截后得到的圖形，其中∠BAE=∠GAD=45°，AB=2AD=2，∠BAD=60°．
（I）求證：BD⊥平面ADG；
（Ⅱ）求平面AEFG與平面ABCD所成銳二面角的大�。�

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如圖所示的幾何體是由以等邊三角形ABC為底面的棱柱被平面DEF所截而得，已知FA⊥
平面ABC，AB=2，AF=2，CE=3，BD=1，O為BC的中點．
（1）求證：AO∥平面DEF；
（2）求證：平面DEF⊥平面BCED；
（3）求平面DEF與平面ABC相交所成銳角二面角的余弦值．

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（2013•成都二模）如圖，在直三棱柱（側棱與底面垂直的三棱柱）ABC-A₁B₁C₁中，AC=AA₁=2AB=2，∠BAC=90°，點D是側棱CC₁ 延長線上一點，EF是平面ABD與平面A₁B₁C₁的交線．
（I）求證：EF丄A₁C；
（II）當平面DAB與平面CA₁B₁所成銳二面角的余弦值為

26

26

時，求DC₁的長．

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一、選擇題：每小題5分，滿分60分.

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

D

A

A

C

D

B

A

C

C

A

D

B

二、填空題：每小題4分，滿分16分.

13．　

14．　1359

15．　

16．

三、解答題

17．解：(Ⅰ) 0.525                                                                           ……… 4分

(Ⅱ)

0

55

60

65

70

75

80

85

90

95

100

P

                                                                             ………12分

18．解：（Ⅰ）由，得，；

                       所以數列只有三項：，，     ……… 3分

（Ⅱ）由題設，解得或

即當或時得到無窮的常數列或；……… 6分

（Ⅲ）解不等式，得或                     ……… 9分

　　　當時，，

　　　，與矛盾；

　　　當時，，依此類推，可得

綜上，                                                                     ………12分

19．解：（Ⅰ）由幾何體的三視圖可知，底面是邊長為的正方形，面，

       ∥，．為的中點，

       又面            ……… 4分

   （Ⅱ）取的中點，與的交點為，∥，

       ∥，故BEMN為平行四邊形

       ∥∥面                                                  ……… 8分

   （Ⅲ）分別以為軸建立坐標系，

       則，，

為的中點，

       面為面的法向量，，

       設平面的法向量為，

       則

       ，與的夾角為          ………11分

面與面所成的二面角（銳角）的余弦值為             ………12分

20．解：（Ⅰ）設，由題設得，整理得其中，

故點A的軌跡（含點B、C）M方程為．             ……… ４分

（Ⅱ）過點，與軸平行的切線存在，此時，    ……… 6分

設過點，斜率為的切線方程為，于是

整理得　　　此方程有重根

　　　即

即解得且                          ………10分

所求切線方程為                           ………12分

21．解：由，得，

于是                                                                ……… 3分

　　　　考察函數，可知          ……… 6分

在上， 和變化情況如下表：

x

0

0

－

－

０

＋

＋

０

－

０

＋

0

↓

↓

１

↑

↑

０

↓

↑

                                                                                           ……… 9分

從而，可得圓方程不同實數根的個數如下：

當或或時，有2個；當時，有3個；

當時，有4個；當時，有0個；

當時，有1個．                                                           ………12分

22解:（Ⅰ）連結OF．∵DF切⊙O于F，∴∠OFD=90°．∴∠OFC+∠CFD=90°．

∵OC=OF，∴∠OCF=∠OFC．∵CO⊥AB于O，∴∠OCF+∠CEO=90°．

∴∠CFD=∠CEO=∠DEF，∴DF=DE．

∵DF是⊙O的切線,∴DF²=DB?DA．∴DE²=DB?DA.                    ……… 5分

（Ⅱ），CO=，     ．

∵CE?EF= AE?EB= （+2）（-2）=8，∴EF=2．                  ………10分

23解：（Ⅰ）設M為圓上一點，坐標為，則∠或，

由余弦定理得∴極坐標方程為           ……… 5分

（Ⅱ）的普通方程為，圓心，半徑．

的普通方程為．

因為圓心到直線的距離為，

所以與只有一個公共點．                                                  ………10分

24．解：（Ⅰ）由絕對值不等式性質知：

對恒成立

故的解集為，只須既可

的取值范圍是                                                         ……… 5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知實數的最大值為3，當時，成立

證明如下：（利用分析法）要使成立

只須    等價于  

等價于    等價于，而顯然成立，

以上每一步均可逆推，故所證明不等式成立。                            ………10