Question

如圖所示的幾何體是由以等邊三角形ABC為底面的棱柱被平面DEF所截而得，已知FA⊥平面ABC，AB=2，BD=1，AF=2，CE=3，O為AB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求平面DEF與平面ABC相交所成銳角二面角的余弦值；
（Ⅱ）在DE上是否存在一點(diǎn)P，使CP⊥平面DEF？如果存在，求出DP的長(zhǎng)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，通過法向量求出平面DEF與平面ABC相交所成銳角二面角的余弦值．
（Ⅱ）假設(shè)在DE存在一點(diǎn)P，設(shè)出坐標(biāo)，根據(jù)CP⊥面DEF，得到所以

CP

與平面DEF的法向量n₂共線，求出λ，得到DP即可．

解答：解：以O(shè)為原點(diǎn)，OB，OC，Oz分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
C（0，

3

，0），D（1，0，1），E（0，

3

，3），F(xiàn)（-1，0，2）．
（Ⅰ）平面ABC的法向量為n₁=（0，01）．
設(shè)平面DEF的法向量為n₂=（x，y，z），

DE

=（-1，

3

，2）．
由

n2• DE =0 n2• DF =0

得

-x+ 3 y+2z=0 -2x+z=0

所以

z=2x y=- 3 x

取x=1，得n₂=（1，-

3

，2）．
所以cos＜m₁，m₂＞=

n1•n2

|n1||n2|

=

2

1×2 2

=

2

2

，所以平面DEF與平面ABC相交所成銳角二面角的余弦值為

2

2

．

（Ⅱ）假設(shè)在DE存在一點(diǎn)P，設(shè)P（x，y，z），
因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

DP

=λ

DE

，故（x-1，y，z-1）=λ（-1，

3

，2），
所以P（-λ+1，

3

λ，2λ+1），所以CP=（-λ+1，

3

λ-

3

，2λ+1）．
因?yàn)槠紺P⊥面DEF，所以

CP

與平面DEF的法向量n₂共線，
所以

-λ+1

1

=

3 λ- 3

- 3

=

2λ+1

2

，解得λ=

1

4

，
所以

DP

=

1

4

DE

，即|DP|=

1

4

|DE|，所以DP=

2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的判定，以及與二面角相關(guān)的立體幾何問題綜合運(yùn)用．通過數(shù)形結(jié)合，以及對(duì)知識(shí)的綜合考查，達(dá)到考查學(xué)生基本能力的目的，屬于中檔題．