Question

（1）填空：如圖1，在正△ABC中，M、N分別在BC、AC上，且BM=CN，連AM、BN交于點O，則∠AON=

 

°
（2）填空：如圖2，在正方形PQRS中，已知點M、N分別在邊QR、RS上，且QM=RN，連接PN、SM相交于點O，則∠POM=

 

°．
（3）如圖3，在等腰梯形ABCD中，已知AB∥CD，BC=CD，∠ABC=60°．以此為部分條件，構造一個與上述命題類似的正確命題并加以證明．
（4）在（1）的條件下，把直線AM平移到圖4的直線EOF位置，
①寫出所有與△BOF相似的三角形：

 

②若點N是AC中點，（其它條件不變）試探索線段EO與FO的數(shù)量關系，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）易證△ABM≌△BCN，可得∴∠AON=∠BAM+∠ABN=∠CBN+∠ABN=60°；
（2）易證△PSN≌△SRM，可得∠POM=∠MSR+∠SNP=∠MSR+∠SMR=90°；
（3）命題：在等腰梯形ABCD中，已知AB∥CD，BC=CD，∠ABC=60°M、N分別在CD、CB上，且DM=CN，連AM、DN交于點O，則∠AON=120°．
（4）由勾股定理得BF=

3

OF，由△BOF∽△EBF得BF²=OF•EF，即可求證EO=2FO．

解答：解：（1）在△ABM和△BCN中，

AB=BC ∠ABC=∠C BM=CN

，
∴△ABM≌△BCN，
∴∠BAM=∠CBN，
∴∠AON=∠BAM+∠ABN=∠CBN+∠ABN=60°；

（2）∵QM=RN，∴RM=SN，
∵PS=SR，∠PSR=∠SRM=90°
∴△PSN≌△SRM，∴∠PNS=∠SMR，
∴∠POM=∠MSR+∠SNP=∠MSR+∠SMR=90°；

（3）命題：在等腰梯形ABCD中，已知AB∥CD，BC=CD，
∠ABC=60°M、N分別在CD、CB上，且DM=CN，連AM、DN交于點O，則∠AON=120°．
通過證△MDA≌△NCD得∴∠MAD=∠NDC，
∴∠AON=∠MAD+∠ADO=∠NDC+∠ADO=∠ADC=120°；

（4）①△BCD、△EBF，
②EO=2FO，
∵BN平分∠ABC，
∴∠NBF=30°，
∵∠BOF=60°，
∴∠BFO=90°，
由勾股定理得BF=

3

OF，
由△BOF∽△EBF得BF²=OF•EF，
∴（

3

OF）²=OF•EF，
∴3OF=EF，
∴EO=2FO．

點評：本題考查了全等三角形的證明和全等三角形對應角相等的性質，考查了等邊三角形各邊長相等的性質，考查了勾股定理在直角三角形中的運用，考查了相似三角形對應邊比值相等的性質．