題目列表(包括答案和解析)
）函數(shù)
．
求證：不等式
對(duì)于
恒成立
．
對(duì)于
恒成立(Ⅰ)求證：當(dāng)a≥1時(shí)，不等式ex－x－1≤
對(duì)于x∈R恒成立；
(Ⅱ)對(duì)于在(0，1)中的任一個(gè)常數(shù)a，問(wèn)是否存在x0＞0使得ex0－x0－1＞
成立？如果存在，求出符合條件的一個(gè)x0；否則說(shuō)明理由．
一、ABCBD BCABD
二、11.2 12. 
13.4 14.10 15. ①②③
三、16. 解：（1）
，
3分
由已知
，得
．
6分
（2）由（1）得
，
8分
當(dāng)
時(shí)，
的最小值為
，
10分
由，得
值的集合為
． 13分
17. 解：（I）取AB的中點(diǎn)O，連接OP，OC 
PA=PB PO
AB
又在
中，
，
在
中，
，又
，故有
又
， 
面ABC 4分
又 PO
面PAB，面PAB面ABC
6分
（Ⅱ）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，
分別以O(shè)B，OC，OP為軸，
軸，
軸建立坐標(biāo)系，
如圖，則A
8分
設(shè)平面PAC的一個(gè)法向量為
。
得
令
，則
11分
設(shè)直線PB與平面PAC所成角為
，
于是
13分
18. 解：（1）
；
4分
（2）消費(fèi)總額為1500元的概率是：
5分
消費(fèi)總額為1400元的概率是：
6分
消費(fèi)總額為1300元的概率是：
＝
，
所以消費(fèi)總額大于或等于1300元的概率是
；
8分
（3）
，
，
＝
。所以
的分布列為：
0
1
2
3
0.294
0.448
0.222
0.036
數(shù)學(xué)期望是：
。 13分
19. 解：∵
的右焦點(diǎn)
∴橢圓的半焦距
，又
，
∴橢圓的
， 
.橢圓方程為
.
（Ⅰ）當(dāng)
時(shí)，故橢圓方程為
， 3分
（Ⅱ）依題意設(shè)直線
的方程為：
，
聯(lián)立
得點(diǎn)
的坐標(biāo)為
. 4分
將代入
得
.
設(shè)
、
，由韋達(dá)定理得
，
. 5分
又
，
.
7分
有實(shí)根， ∴點(diǎn)可以在圓上. 8分
（Ⅲ）假設(shè)存在滿足條件的實(shí)數(shù)
，
由
解得：
. 10分
∴
，
，又
.即
的邊長(zhǎng)分別是
、
、
.
時(shí)，能使的邊長(zhǎng)是連續(xù)的自然數(shù)。 1
3分
20. 解：（1）
．
1分
當(dāng)
時(shí)，
，在
上單調(diào)遞增；
2分
當(dāng)
，
時(shí)，
，在
上單調(diào)遞減；
時(shí)，，在
上單調(diào)遞增．
3分
綜上所述，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．
4分
（2）充分性：
時(shí)，由（1）知，在x=1處有極小值也是最小值，
即
。而在
上單調(diào)遞減，在
上單調(diào)遞增，
所以在上有唯一的一個(gè)零點(diǎn)x=1． 6分
必要性：若函數(shù)f(x)存在唯一零點(diǎn)，即方程=0在上有唯一解，
因, 由（1）知，在
處有極小值也是最小值f(a)，
f(a)=0,即
．
7分
令
， 
．
當(dāng)
時(shí)，
，
在上單調(diào)遞增；當(dāng)
時(shí)，
，
在上單調(diào)遞減。
，=0只有唯一解．
因此=0在上有唯一解時(shí)必有．
綜上：在時(shí)， =0在上有唯一解的充要條件是． 9分
（3）證明：∵1<x<2, ∴
.
令
，∴
，11分
由（1）知，當(dāng)時(shí)，，∴
，
∴
．∴
，
12分
∴F（x）在（1，2）上單調(diào)遞增，∴
，
∴
�！�
．
14分
21. （Ⅰ）解：考慮在矩陣
作用下，求出變換后的三角形的頂點(diǎn)坐標(biāo)，從而求得三角形的面積，可先求得
，由
＝，得點(diǎn)
在矩陣
作用下變換所得到的點(diǎn)
，同理求得
在矩陣作用下變換所得到的點(diǎn)分別是
，
，計(jì)算得△
的面積為3．
7分
（Ⅱ）解：直線
的極坐標(biāo)方程
，則
，
即
，所以直線的直角坐標(biāo)方程為
； 2分
設(shè)
，其中
，則P到直線的距離
，其中
，∴ 當(dāng)
時(shí)，
的最大值為
；當(dāng)
時(shí)，的最小值為
。
7分
（Ⅲ）解：由柯西不等式，得
， 2分
即
．由條件，得
．解得
， 2分
當(dāng)且僅當(dāng)
時(shí)等號(hào)成立．代入
時(shí)，
；
時(shí)，
．所以，
的取值范圍是
．
7分
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