長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的側(cè)棱AA₁=a，底面ABCD的邊長(zhǎng)AB=2a，BC=a，E為C₁D₁的中點(diǎn)；
（1）求證：DE⊥平面BCE；
（2）求二面角E-BD-C的正切值．

長(zhǎng)度為a（a＞0）的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)A、B分別在x軸和y軸上滑動(dòng)，點(diǎn)P在線段AB上，且

AP

=λ

PB

（λ為常數(shù)且λ＞0）．
（I）求點(diǎn)P的軌跡方程C，并說(shuō)明軌跡類型；
（II）當(dāng)λ=2時(shí)，已知直線l₁與原點(diǎn)O的距離為

a

2

，且直線l₁與軌跡C有公共點(diǎn)，求直線l₁的斜率k的取值范圍．

長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知AB=a，BC=b，AA₁=c，且a＞b，求：
（1）下列異面直線之間的距離：AB與CC₁；AB與A₁C₁；AB與B₁C．
（2）異面直線D₁B與AC所成角的余弦值．

長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA1=

2

，AB=BC=2，O是底面對(duì)角線的交點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：B₁D₁∥平面BC₁D；
（Ⅱ）求證：A₁O⊥平面BC₁D．

長(zhǎng)方體 ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，AA₁=4，
（1）說(shuō)出BD₁與平面ABCD所成角，并求出它的正切值；
（2）指出 二面角D₁-AC-D的平面角，并求出它的正切值；
（3）求證：AC⊥BD₁．