Question

長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA1=

2

，AB=BC=2，O是底面對角線的交點．
（Ⅰ）求證：B₁D₁∥平面BC₁D；
（Ⅱ）求證：A₁O⊥平面BC₁D．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲證B₁D₁∥平面BC₁D，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證B₁D₁與平面BC₁D內(nèi)一直線平行，而B₁D₁∥BD，且B₁D₁在平面BC₁D外，滿足定理所需條件；
（Ⅱ）欲證A₁O⊥平面BC₁D，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證A₁O與平面BC₁D內(nèi)兩相交直線垂直，連接OC₁
，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知A₁O⊥BD，根據(jù)勾股定理可知A₁O⊥OC₁，滿足定理所需條件．

解答：（Ⅰ）證明：依題意：B₁D₁∥BD，且B₁D₁在平面BC₁D外．（2分）
∴B₁D₁∥平面BC₁D（4分）
（Ⅱ）證明：連接OC₁
∵BD⊥AC，AA₁⊥BD
∴BD⊥平面ACC₁A₁（5分）
又∵O在AC上，∴A₁O在平面ACC₁A₁上
∴A₁O⊥BD（6分）
∵AB=BC=2∴AC=A1C1=2

2

∴OA=

2

∴Rt△AA₁O中，A1O=

AA12+OA2

=2（7分）
同理：OC₁=2
∵△A₁OC₁中，A₁O²+OC₁²=A₁C₁²
∴A₁O⊥OC₁（8分）
∴A₁O⊥平面BC₁D

點評：本題考查直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，考查學(xué)生空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．