題目列表(包括答案和解析)
若某產(chǎn)品的直徑長(zhǎng)與標(biāo)準(zhǔn)值的差的絕對(duì)值不超過1mm 時(shí),則視為合格品,否則視為不合格品。在近期一次產(chǎn)品抽樣檢查中,從某廠生產(chǎn)的此種產(chǎn)品中,隨機(jī)抽取5000件進(jìn)行檢測(cè),結(jié)果發(fā)現(xiàn)有50件不合格品。計(jì)算這50件不合格品的直徑長(zhǎng)與標(biāo)準(zhǔn)值的差(單位:mm), 將所得數(shù)據(jù)分組,得到如下頻率分布表:
分組 |
頻數(shù) |
頻率 |
[-3, -2) |
|
0.10 |
[-2, -1) |
8 |
|
(1,2] |
|
0.50 |
(2,3] |
10 |
|
(3,4] |
|
|
合計(jì) |
50 |
1.00 |
(Ⅰ)將上面表格中缺少的數(shù)據(jù)填在答題卡的相應(yīng)位置;
(Ⅱ)估計(jì)該廠生產(chǎn)的此種產(chǎn)品中,不合格品的直徑長(zhǎng)與標(biāo)準(zhǔn)值的差落在區(qū)間(1,3]內(nèi)的概率;
(Ⅲ)現(xiàn)對(duì)該廠這種產(chǎn)品的某個(gè)批次進(jìn)行檢查,結(jié)果發(fā)現(xiàn)有20件不合格品。據(jù)此估算這批產(chǎn)品中的合格品的件數(shù)。
【解析】(Ⅰ)
分組 |
頻數(shù) |
頻率 |
[-3, -2) |
5 |
0.10 |
[-2, -1) |
8 |
0.16 |
(1,2] |
25 |
0.50 |
(2,3] |
10 |
0.2 |
(3,4] |
2 |
0.04 |
合計(jì) |
50 |
1.00 |
(Ⅱ)根據(jù)頻率分布表可知,落在區(qū)間(1,3]內(nèi)頻數(shù)為35,故所求概率為0.7.
(Ⅲ)由題可知不合格的概率為0.01,故可求得這批產(chǎn)品總共有2000,故合格的產(chǎn)品有1980件。
2011年3月日本發(fā)生的9.0級(jí)地震引發(fā)了海嘯和核泄漏。核專家為檢測(cè)當(dāng)?shù)貏?dòng)物受核輻射后對(duì)身體健康的影響,隨機(jī)選取了110只羊進(jìn)行檢測(cè)。其中身體健康的50只中有30只受到高度輻射,余下的60只身體不健康的羊中有10只受輕微輻射。
(1)作出2×2列聯(lián)表
(2)判斷有多大把握認(rèn)為羊受核輻射對(duì)身體健康有影響?
【解析】本試題主要考查了列聯(lián)表的運(yùn)用,以及判定兩個(gè)分類變量之間的相關(guān)性問題的運(yùn)用首先根據(jù)題意得到2×2列聯(lián)表:,然后求解的觀測(cè)值為
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061917121082894691/SYS201206191714381726681118_ST.files/image004.png">,因此可知有99%的把握可以認(rèn)為羊受核輻射對(duì)身體健康有影響。
解:(1)2×2列聯(lián)表:
輻射程度健康類型 |
高度輻射 |
輕微輻射 |
合 計(jì) |
身體健康 |
30 |
20 |
50 |
身體不健康 |
50 |
10 |
60 |
合 計(jì) |
80 |
30 |
110 |
--------5分
-
(Ⅱ)的觀測(cè)值為
-----9分
而
∴有99%的把握可以認(rèn)為羊受核輻射對(duì)身體健康有影響。
在四棱錐中,平面,底面為矩形,.
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求證:;
(Ⅱ)若邊上有且只有一個(gè)點(diǎn),使得,求此時(shí)二面角的余弦值.
【解析】第一位女利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理得到。當(dāng)a=1時(shí),底面ABCD為正方形,
又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912265168707359/SYS201207091227226245550949_ST.files/image014.png">,………………2分
又,得證。
第二問,建立空間直角坐標(biāo)系,則B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)……4分
設(shè)BQ=m,則Q(1,m,0)(0《m《a》
要使,只要
所以,即………6分
由此可知時(shí),存在點(diǎn)Q使得
當(dāng)且僅當(dāng)m=a-m,即m=a/2時(shí),BC邊上有且只有一個(gè)點(diǎn)Q,使得
由此知道a=2, 設(shè)平面POQ的法向量為
,所以 平面PAD的法向量
則的大小與二面角A-PD-Q的大小相等所以
因此二面角A-PD-Q的余弦值為
解:(Ⅰ)當(dāng)時(shí),底面ABCD為正方形,
又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912265168707359/SYS201207091227226245550949_ST.files/image014.png">,又………………3分
(Ⅱ) 因?yàn)锳B,AD,AP兩兩垂直,分別以它們所在直線為X軸、Y軸、Z軸建立坐標(biāo)系,如圖所示,
則B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)…………4分
設(shè)BQ=m,則Q(1,m,0)(0《m《a》要使,只要
所以,即………6分
由此可知時(shí),存在點(diǎn)Q使得
當(dāng)且僅當(dāng)m=a-m,即m=a/2時(shí),BC邊上有且只有一個(gè)點(diǎn)Q,使得由此知道a=2,
設(shè)平面POQ的法向量為
,所以 平面PAD的法向量
則的大小與二面角A-PD-Q的大小相等所以
因此二面角A-PD-Q的余弦值為
已知三棱錐P—ABC中,PC⊥底面ABC,,,二面角P-AB-C為,D、F分別為AC、PC的中點(diǎn),DE⊥AP于E.
(Ⅰ)求證:AP⊥平面BDE;
(Ⅱ)求直線EB與平面PAC所成的角。
【解析】本試題主要考查了線面的垂直問題以及線面角的求解的綜合運(yùn)用。
1. 由函數(shù)知,當(dāng)時(shí),,且,則它的反函數(shù)過點(diǎn)(3,4),故選A.
2.∵,∴,則,即,.,選B.
3. 由平行四邊形法則,,
∴,
又,
∴,當(dāng)P為中點(diǎn)時(shí),取得最小值.選B.
4. 設(shè)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn),它是橢圓三個(gè)頂點(diǎn),,構(gòu)成的三角形的垂心(如圖).由有,即,∴,得,解得,選A.
5. 設(shè)正方形邊長(zhǎng)為,,則,.在由正弦定理得,又在由余弦定理得,于是,,選C.
6. 在底面上的射影知,為斜線在平面上的射影,∵,由三垂線定理得,∵,所以直線與直線重合,選A.
7. 過A作拋物線的準(zhǔn)線的垂線AA1交準(zhǔn)線A1, 過B作橢圓的右準(zhǔn)線的垂線交右準(zhǔn)線于則有:BN=e|BB1|=2-xB,AN=|AA1|=xA+1,周長(zhǎng)=|AN|+|AB|+|BN|=xA+1+(xB-xA)+(2-xB)=3+xB,
由可得兩曲線的交點(diǎn)x=,xB∈(,2),
∴3+xB∈(,4),即△ANB周長(zhǎng)取值范圍是(,4),選B.
8. 先將3,5兩個(gè)奇數(shù)排好,有種排法,再將4,6兩個(gè)偶數(shù)插入3,5中,有種排法,最后將1,2 當(dāng)成一個(gè)整體插入5個(gè)空位中,所以這樣的六位數(shù)的個(gè)數(shù)為,選B.
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