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已知雙曲線的漸近線與拋物線C：y=x²+1相切于第一象限內(nèi)的點(diǎn)P．
（I）求點(diǎn)P的坐標(biāo)及雙曲線E的離心率；
（II）記過點(diǎn)P的漸近線為l₁，雙曲線的右焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F且垂直于l₁的直線l₂與雙曲線E交于A、B兩點(diǎn)．當(dāng)△PAB的面積為時(shí)，求雙曲線E的方程．

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如圖，橢圓C: 的焦點(diǎn)為F₁（0，c）、F₂（0，一c）（c>0），拋物線的焦點(diǎn)與F₁重合，過F₂的直線l與拋物線P相切，切點(diǎn)在第一象限，且與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，且

   （I）求證：切線l的斜率為定值；

   （Ⅱ）若拋物線P與直線l及y軸圍成的圖形面積為，求拋物線P的方程；

   （III）當(dāng)時(shí)，求橢圓離心率e的取值范圍。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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一、選擇題：（每小題5分，共50分）

題號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

B

D

B

A

C

C

D

A

A

B

二、填空題：（每小題4分，共24分）

11．；  12．；   13．；    14．；   15．4    16．120

三、解答題：（共76分，以下各題為累計(jì)得分，其他解法請(qǐng)相應(yīng)給分）

17．解：（I）

        由，得。

        又當(dāng)時(shí)，得

       （Ⅱ）當(dāng)

        即時(shí)函數(shù)遞增。

        故的單調(diào)增區(qū)間為，

        又由，得，

        由

        解得

        故使成立的的集合是

18．解：（I）設(shè)袋中有白球個(gè)，由題意得，

        即

        解得或（舍），故有白球6個(gè)

       （法二，設(shè)黑球有個(gè)，則全是黑球的概率為   由

        即，解得或（舍），故有黑球4個(gè)，白球6個(gè)

       （Ⅱ），

0

1

2

3

P

       故分布列為

       數(shù)學(xué)期望

19．解：（I）取AB的中點(diǎn)O，連接OP，OC         PA=PB   POAB

       又在中，，

       在中，，又，故有

          又，面ABC

       又PO面PAB，面PAB面ABC

      （Ⅱ）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)， 分別以O(shè)B，OC，OP為軸，軸，軸建立坐標(biāo)系，

如圖，則A

       設(shè)平面PAC的一個(gè)法向量為。

            得

       令，則

       設(shè)直線PB與平面PAC所成角為

       于是

20．解：（I）由題意設(shè)C的方程為由，得。

       設(shè)直線的方程為，由

       ②代入①化簡(jiǎn)整理得  

       因直線與拋物線C相交于不同的兩點(diǎn)，

       故

       即，解得又時(shí)僅交一點(diǎn)，

      （Ⅱ）設(shè)，由由（I）知

21．解：（I）當(dāng)時(shí)，

       設(shè)曲線與在公共點(diǎn)（）處的切線相同，則有

       即    解得或（舍）

       又故得公共點(diǎn)為，

       切線方程為   ，即

      （Ⅱ），設(shè)在（）處切線相同，

       故有

       即

       由①，得（舍）

       于是

       令，則

       于是當(dāng)即時(shí)，，故在上遞增。

       當(dāng)，即時(shí)，，故在上遞減

       在處取最大值。

       當(dāng)時(shí)，b取得最大值

22．解：（I）的對(duì)稱軸為，又當(dāng)時(shí)，，

       故在[0，1]上是增函數(shù)

       即

     （Ⅱ）

       由

       得

       ①―②得   即

       當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，

       于是

       設(shè)存在正整數(shù)，使對(duì)，恒成立。

       當(dāng)時(shí)，，即

       當(dāng)時(shí)，

       。

       當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，

       存在正整數(shù)或8，對(duì)于任意正整數(shù)都有成立。