已知雙曲線的漸近線與拋物線C:y=x2+1相切于第一象限內(nèi)的點P.
(I)求點P的坐標(biāo)及雙曲線E的離心率;
(II)記過點P的漸近線為l1,雙曲線的右焦點為F,過點F且垂直于l1的直線l2與雙曲線E交于A、B兩點.當(dāng)△PAB的面積為時,求雙曲線E的方程.
【答案】分析:(I)設(shè)切點P的坐標(biāo),根據(jù)雙曲線E的漸近線與拋物線C相切,及P在拋物線C:y=x2+1上,即可求點P的坐標(biāo)及雙曲線E的離心率;
(II)利用點到直線的距離公式,求得△PAB的高,根據(jù)△PAB的面積為,求出a的值,即可求雙曲線E的方程.
解答:解:(I)設(shè)切點P的坐標(biāo)為,則切線的斜率為…(1分)
因為雙曲線E的漸近線與拋物線C相切,所以

由①、②消去x得:,即b2=4a2,…(3分)
又c2=a2+b2,所以c2-a2=4a2,c2=5a2,
.…(4分)
由①、②還可得,即x=±1,
又P在第一象限,從而切點P的坐標(biāo)為(1,2)…%分
(II)由(I)得l1的方程為y=2x,點F的坐標(biāo)為,雙曲線E的方程為4x2-y2=4a2
因為l1⊥l2,所以l2的方程為
消去y得:
從而
==.…(7分)
由點到直線的距離公式得△PAB的高.…(8分)
所以△PAB的面積
當(dāng)0<a<5時,,即,無實數(shù)解;
當(dāng)a≥5時,,即,
解得(舍去)…(11分)

所以所求方程為.…(12分)
點評:本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用,考查雙曲線的幾何性質(zhì),考查直線與雙曲線的位置關(guān)系,考查學(xué)生的計算能力,屬于中檔題.
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已知雙曲線的漸近線與圓相切,則該雙曲線的離心率是__________.

 

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已知雙曲線的漸近線與圓有交點,則該雙曲線的離心率的取值范圍是___________.

 

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已知雙曲線的漸近線與圓相切,則該雙曲線的離心率為_________.

 

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已知雙曲線的漸近線與圓有公共點,則該雙曲線的離心率的取值范圍是___________.

 

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