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已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)N（x，y），設(shè)直線(xiàn)NP，NQ的斜率分別記為k₁，k₂，記（其中“?”可以是四則運(yùn)算加、減、乘、除中的任意一種運(yùn)算），坐標(biāo)原點(diǎn)為O，點(diǎn)M（2，1）．
（Ⅰ）探求動(dòng)點(diǎn)N的軌跡方程；
（Ⅱ）若“?”表示乘法，動(dòng)點(diǎn)N的軌跡再加上P，Q兩點(diǎn)記為曲線(xiàn)C，直線(xiàn)l平行于直線(xiàn)OM，且與曲線(xiàn)C交于A，B兩個(gè)不同的點(diǎn)．
（ⅰ）若原點(diǎn)O在以AB為直徑的圓的內(nèi)部，試求出直線(xiàn)l在y軸上的截距m的取值范圍．
（ⅱ）試求出△AOB面積的最大值及此時(shí)直線(xiàn)l的方程．

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已知拋物線(xiàn)C：，過(guò)C上一點(diǎn)M，且與M處的切線(xiàn)垂直的直線(xiàn)稱(chēng)為C在點(diǎn)M的法線(xiàn)．
（Ⅰ）若C在點(diǎn)M的法線(xiàn)的斜率為-，求點(diǎn)M的坐標(biāo)（x，y_^）；
（Ⅱ）設(shè)P（-2，a）為C對(duì)稱(chēng)軸上的一點(diǎn)，在C上是否存在點(diǎn)，使得C在該點(diǎn)的法線(xiàn)通過(guò)點(diǎn)P？若有，求出這些點(diǎn)，以及C在這些點(diǎn)的法線(xiàn)方程；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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一、選擇題

題號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

D

A

A

D

B

C

C

B

C

D

二、填空題

11．     cosx+sinx          _                   12．

13．_____  -1____________                    14．

15．                   16．

17．

三、解答題

18．解：由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程知橢圓的焦點(diǎn)為，離心率為………………3分

因?yàn)殡p曲線(xiàn)與橢圓有相同的焦點(diǎn)，所以，雙曲線(xiàn)焦點(diǎn)在x軸上，c=4，………………2分

又雙曲線(xiàn)與橢圓的離心率之和為，故雙曲線(xiàn)的離心率為2，所以a=2………………4分

又b²=c²-a²=16-4=12�！�……………………………………………………………………2分

所以雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為�！�……………………………………………1分

19．解：p真：m<0…………………………………………………………………………2分

q真：……………………………………………………………2分

故-1<m<1�！�………………………………………………………………………………2分

由和都是假命題知：p真q假，………………………………………………4分

故。………………………………4分

20．解：（1）設(shè)|PF₂|=x，則｜PF₁|=2a-x……………………………………………………2分

∵，∴， ∴…………1分

∴，……………………………………………………………………2分

………………………………2分

（2）由題知a=4，，故………………………………………………1分

由得，…………………………………………………………………1分

又……………………………………2分

故，代入橢圓方程得，………………………………………2分

故Q點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，。

…………………………………………………………………………………………………2分

21．解：（1）由函數(shù)，求導(dǎo)數(shù)得，…1分

由題知點(diǎn)P在切線(xiàn)上，故f(1)=4，…………………………………………………………1分

又切點(diǎn)在曲線(xiàn)上，故1+a+b+c=4①…………………………………………………………1分

且，故3+2a+b=3②………………………………………………………………1分

③……………………2分

故……………………1分

（2）…………………………1分

x

－2

+

0

－

0

+

極大值

極小值

有表格或者分析說(shuō)明…………………………………………………………………………3分

，…………………………………………………………2分

∴f(x)在[-3，1]上最大值為13。故m的取值范圍為{m|m>13}………………………2分

22．解：（1）由題意設(shè)過(guò)點(diǎn)M的切線(xiàn)方程為：，…………………………1分

代入C得，則，………………2分

，即M（－1，）．………………………………………2分

另解：由題意得過(guò)點(diǎn)M的切線(xiàn)方程的斜率k=2，…………………………………………1分

設(shè)M(x₀，y₀)，，………………………………………………………………1分

由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知2x₀+4=2，故x₀= -1，……………………………………………2分

代入拋物線(xiàn)可得y₀=，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（－1，）……………………………………1分

（2）假設(shè)在C上存在點(diǎn)滿(mǎn)足條件．設(shè)過(guò)Q的切線(xiàn)方程為：，代入，

則，

且．………………………………………………………2分

若時(shí)，由于，…………………2分

當(dāng)a＞0時(shí)，有

∴ 或  ；……………………………………2分

當(dāng)a≤0時(shí)，∵k≠0，故 k無(wú)解�！�…………………………………………………1分

若k=0時(shí)，顯然也滿(mǎn)足要求．…………………………………………1分

綜上，當(dāng)a>0時(shí)，有三個(gè)點(diǎn)（－2＋，），（－2－，）及（－2，－），且過(guò)這三點(diǎn)的法線(xiàn)過(guò)點(diǎn)P（－2，a），其方程分別為：

x＋2y＋2－2a＝0，x－2y＋2＋2a＝0，x＝－2。

當(dāng)a≤0時(shí)，在C上有一個(gè)點(diǎn)（－2，－），在這點(diǎn)的法線(xiàn)過(guò)點(diǎn)P（－2，a），其方程為：x＝－2�！�…………………………………………………………………………………3分