平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，給定兩點(diǎn)A（1，0），B（0，-2），點(diǎn)C滿足

OC

=α

OA

+β

OB

，其中α，β∈R，且α-2β=1．
（Ⅰ）求點(diǎn)C的軌跡方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)C的軌跡與雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)交于兩點(diǎn)M，N，且以MN為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，求證：

1

a2

-

1

b2

為定值．

平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，給定兩點(diǎn)M（1，-3）N（5，1），若點(diǎn)C滿足

OC

=t

OM

+(1-t)

ON

(t∈R)．
（Ⅰ）求點(diǎn)C的軌跡方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)C的軌跡與拋物線y²=4x交于A、B兩點(diǎn)，求證：

OA

⊥

OB

；
（Ⅲ）求以AB為直徑的圓的方程．

平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A₁（x₁，y₁），A₂（x₂，y₂），…，A_n（x_n，y_n）是直線l：y=kx+b上的n個(gè)點(diǎn)
（n∈N^*，k、b均為非零常數(shù)）．
（1）若數(shù)列{x_n}成等差數(shù)列，求證：數(shù)列{y_n}也成等差數(shù)列；
（2）若點(diǎn)P是直線l上一點(diǎn)，且

OP

=a1

OA1

+a2

OA2

，求a₁+a₂的值；
（3）若點(diǎn)P滿足

OP

=a1

OA1

+a2

OA2

+…+an

OAn

，我們稱

OP

是向量

OA1

，

OA2

，…，

OAn

的線性組合，{a_n}是該線性組合的系數(shù)數(shù)列．當(dāng)

OP

是向量

OA1

，

OA2

，…，

OAn

的線性組合時(shí)，請(qǐng)參考以下線索：
①系數(shù)數(shù)列{a_n}需滿足怎樣的條件，點(diǎn)P會(huì)落在直線l上？
②若點(diǎn)P落在直線l上，系數(shù)數(shù)列{a_n}會(huì)滿足怎樣的結(jié)論？
③能否根據(jù)你給出的系數(shù)數(shù)列{a_n}滿足的條件，確定在直線l上的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)或坐標(biāo)？
試提出一個(gè)相關(guān)命題（或猜想）并開(kāi)展研究，寫(xiě)出你的研究過(guò)程．[本小題將根據(jù)你提出的命題（或猜想）的完備程度和研究過(guò)程中體現(xiàn)的思維層次，給予不同的評(píng)分]．

平面內(nèi)n條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不共點(diǎn)．
（1）設(shè)這n條直線互相分割成f（n）條線段或射線，猜想f（n）的表達(dá)式并給出證明；
（2）求證：這n條直線把平面分成

n(n+1)

2

+1個(gè)區(qū)域．

平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)M（1，-3）、N（5，1），若點(diǎn)C滿足

OC

=t

OM

+（1-t）

ON

（t∈R），點(diǎn)C的軌跡與拋物線：y²=4x交于A、B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：

OA

⊥

OB

；
（Ⅱ）在x軸上是否存在一點(diǎn)P（m，0）（m∈R），使得過(guò)P點(diǎn)的直線交拋物線于D、E兩點(diǎn)，并以該弦DE為直徑的圓都過(guò)原點(diǎn)．若存在，請(qǐng)求出m的值及圓心的軌跡方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．