平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),已知兩點(diǎn)M(1,-3)、N(5,1),若點(diǎn)C滿足
OC
=t
OM
+(1-t)
ON
(t∈R),點(diǎn)C的軌跡與拋物線:y2=4x交于A、B兩點(diǎn).
(Ⅰ)求證:
OA
OB

(Ⅱ)在x軸上是否存在一點(diǎn)P(m,0)(m∈R),使得過(guò)P點(diǎn)的直線交拋物線于D、E兩點(diǎn),并以該弦DE為直徑的圓都過(guò)原點(diǎn).若存在,請(qǐng)求出m的值及圓心的軌跡方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
分析:(1)欲證兩向量垂直,通過(guò)向量的坐標(biāo)運(yùn)算,就是證明它們的數(shù)量積為0,將直線與拋物線的方程組成方程組,利用設(shè)而不求的
方法求解;
(2)對(duì)于存在性問(wèn)題,可設(shè)假設(shè)存在,本題中將垂直關(guān)系合理轉(zhuǎn)化,找出m的一個(gè)相等關(guān)系,從而解出了m的值,即說(shuō)明存在.
解答:解:(Ⅰ)解:由
OC
=t
OM
+(1-t)
ON
(t∈R),知點(diǎn)C的軌跡是M、N兩點(diǎn)所在的直線,
故點(diǎn)C的軌跡方程是:即y=x-4.
由得x2-12x+16=0.
∴x1x2=16,x1+x2=12
∴y1y2=(x1-4)(x2-4)=x1x2-4(x1+x2)+16=-16
∴x1x2+y1y2=0   故
OA
OB

(Ⅱ)解:由題意知:弦所在的直線的斜率不為零.故設(shè)弦所在的直線方程為:x=ky+m,
代入 y2=4x 得 y2-4ky-4m=0,∴y1+y2=4k,y1y2=-4m.
若以弦DE為直徑的圓都過(guò)原點(diǎn),則OD⊥OE,∴x1x2+y1y2=0.
y
2
1
4
+
y
2
2
4
+y1y2
=m2-4m,解得m=0 (不合題意,舍去)或 m=4.
∴存在點(diǎn)P(4,0),使得過(guò)P點(diǎn)任作拋物線的一條弦,以該弦為直徑的圓都過(guò)原點(diǎn).
設(shè)弦AB的中點(diǎn)為M(x,y)  則x=(x1+x2),y=( y1+y2),
x1+x2=ky1+4+ky2+4=k(y1+y2)+8=4k2+8,
∴弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程為:
消去k得:y2=2x-8.
∴圓心的軌跡方程為y2=2x-8.
點(diǎn)評(píng):對(duì)于存在判斷型問(wèn)題,解題的策略一般為先假設(shè)存在,然后轉(zhuǎn)化為“封閉型”問(wèn)題求解判斷,若不出現(xiàn)矛盾,則肯定存在;若出現(xiàn)矛盾,則否定存在.這是一種最常用也是最基本的方法.本題根據(jù)拋物線的定義,結(jié)合焦點(diǎn)三角形,引出矛盾,從而問(wèn)題得解.解圓錐曲線的中點(diǎn)弦問(wèn)題的一般方法是:聯(lián)立直線和圓錐曲線的方程,借助于一元二次方程的根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式及參數(shù)法求解.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),已知兩點(diǎn)A(3,1)、B(-1,3),若點(diǎn)C滿足
OC
OA
OB
,其中α、β∈R,且α+β=1,則點(diǎn)C的軌跡方程為( 。
A、3x+2y-11=0
B、(x-1)2+(y-2)2=5
C、2x-y=0
D、x+2y-5=0

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精英家教網(wǎng)已知水平地面上有一籃球,在斜平行光線的照射下,其陰影為一橢圓(如圖),在平面直角坐標(biāo)系中,O為原點(diǎn),設(shè)橢圓的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0),籃球與地面的接觸點(diǎn)為H,則|OH|=
 

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在平面直角坐標(biāo)系中,O(0,0),P(6,8),將向量
OP
按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)
π
4
后,得向量
OQ
則點(diǎn)Q的坐標(biāo)是(  )

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平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),給定兩點(diǎn)A(1,0)、B(0,-2),點(diǎn)C滿足   
OC
OA
OB
,其中α
、β∈R,且α-2β=1
(1)求點(diǎn)C的軌跡方程;
(2)設(shè)點(diǎn)C的軌跡與橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
交于兩點(diǎn)M、N,且以MN為直徑的圓過(guò)原點(diǎn),求證:
1
a2
+
1
b2
為定值
;
(3)在(2)的條件下,若橢圓的離心率不大于
2
2
,求橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)的取值范圍.

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(2006•海淀區(qū)二模)平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),已知兩定點(diǎn)A(1,0)、B(0,-1),動(dòng)點(diǎn)P(x,y)滿足:
OP
=m
OA
+(m-1)
OB
(m∈R)

(1)求點(diǎn)P的軌跡方程;
(2)設(shè)點(diǎn)P的軌跡與雙曲線C:
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
交于相異兩點(diǎn)M、N.若以MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn),且雙曲線C的離心率等于
3
,求雙曲線C的方程.

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