1. 關(guān)系分析法。即通過尋找關(guān)鍵詞和關(guān)鍵量之間的數(shù)量關(guān)系的方法來建立問題的數(shù)學(xué)模型的方法。

　 例1. (水塔供水問題)某工廠有容量為300噸的水塔一個(gè)，每天從早上6時(shí)起到晚上10時(shí)止供應(yīng)該廠生活和生產(chǎn)用水。已知該廠生活用水為每小時(shí)10噸，工業(yè)用水量W(噸)與時(shí)間(單位：小時(shí)，定義早上6時(shí)=0)的函數(shù)關(guān)系式為，水塔的進(jìn)水量有10級(jí)，第一級(jí)每小時(shí)進(jìn)水10噸，以后每提高一級(jí)，每小時(shí)的進(jìn)水量增加10噸，若某天水塔原有水100噸，在供水同時(shí)打開進(jìn)水管。

　　 (1)設(shè)進(jìn)水量選用第級(jí)，寫出在時(shí)刻水的存有量；

　　 (2)問進(jìn)水量選擇第幾級(jí)，既能保證該廠用水(水塔中水不空)又不會(huì)使水溢出。

　　 讀懂題目：題目涉及的關(guān)鍵詞比較多：生活用水量、工業(yè)用水量、水的存有量、進(jìn)水量、原有量。其數(shù)量關(guān)系為：存有量=進(jìn)水量－用水量+原有量，而用水量=生活用水量+工業(yè)用水量。第一問的關(guān)鍵點(diǎn)是求“進(jìn)水量選用第級(jí)”。第二問的關(guān)鍵點(diǎn)是“水塔中水不空不溢”轉(zhuǎn)化為“存有量”。

　　 建立數(shù)學(xué)模型：存有量=進(jìn)水量－用水量+原有量，而用水量=生活用水量+工業(yè)用水量=10在選用第級(jí)的進(jìn)水量時(shí)，時(shí)刻水的存有量為，要使水搭中水不空不溢，則，問題轉(zhuǎn)化為確定，使，在()上恒成立。

　　 求解數(shù)學(xué)模型：面對(duì)上述不等式，如何求解？是否會(huì)轉(zhuǎn)化為“對(duì)一切恒成立，”是否會(huì)作一個(gè)代換“令”，將其轉(zhuǎn)化為“對(duì)一切恒成立”，由于在上的最小值為在上的最大值為，從而確定。

4. 檢驗(yàn)。既要檢驗(yàn)所得結(jié)果是否適合數(shù)學(xué)模型，又要評(píng)判所得結(jié)果是否符合實(shí)際問題的要求，從而對(duì)原問題作出合乎實(shí)際意義的回答。

3. 求解數(shù)學(xué)模型。根據(jù)所建立的數(shù)學(xué)模型，選擇合適的數(shù)學(xué)方法，設(shè)計(jì)合理簡(jiǎn)捷的運(yùn)算途徑，求出數(shù)學(xué)問題的解，其中特別注意實(shí)際問題中對(duì)變量范圍的限制及其他約束條件。

2. 建立數(shù)學(xué)模型。將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，建模的直接準(zhǔn)備就是審題的最后階段從各種關(guān)系中找出最關(guān)鍵的數(shù)量關(guān)系，將此關(guān)系用有關(guān)的量及數(shù)字、符號(hào)表示出來，即可得到解決問題的數(shù)學(xué)模型。

　　 數(shù)學(xué)建模分析的步驟：

1. 讀懂題目。應(yīng)包括對(duì)題意的整體理解和局部理解，以及分析關(guān)系、領(lǐng)悟?qū)嵸|(zhì)。

　　 “整體理解”就是弄清題目所述的事件和研究對(duì)象；

　　 “局部理解”是指抓住題目中的關(guān)鍵字句，正確把握其含義；

　　 “分析關(guān)系”就是根據(jù)題意，弄清題中各有關(guān)量的數(shù)量關(guān)系；

　　 “領(lǐng)悟?qū)嵸|(zhì)”是指抓住題目中的主要問題、正確識(shí)別其類型。

全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題(一)

15.　 (20分)某新建商場(chǎng)設(shè)有百貨部、服裝部和家電部三個(gè)經(jīng)營(yíng)部，共有190名售貨員，計(jì)劃全商場(chǎng)的日營(yíng)業(yè)額(每日賣出商品所收到的總金額)為60萬元，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，各部商品每1萬元營(yíng)業(yè)額需要售貨員人數(shù)及每1萬元營(yíng)業(yè)額所得利潤(rùn)情況如表所示，商場(chǎng)將計(jì)劃日營(yíng)業(yè)額分配給三個(gè)經(jīng)營(yíng)部，同時(shí)適當(dāng)安排各部的營(yíng)業(yè)員人數(shù)，若商場(chǎng)預(yù)計(jì)每日的總利潤(rùn)為c萬元，且19≤c≤19.7，又已知商場(chǎng)分配給經(jīng)營(yíng)部的營(yíng)業(yè)額均為整數(shù)萬元，問這個(gè)商場(chǎng)怎樣分配營(yíng)業(yè)額給三個(gè)部？各部分別安排多少名營(yíng)業(yè)員？

第二試

14.　 (20分)直線Ax+By+C＝0(ABC≠0)與橢圓b²x²+a²y²＝a²b²相交于P和Q兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且OP⊥OQ，求證：.

13.　 (20分)求證：經(jīng)過正方體中心的任意截面的面積不小于正方體一個(gè)側(cè)面的面積.

12.　 若實(shí)數(shù)a＞0，則滿足a⁵－a³+a＝2的a值屬于區(qū)間:①(0，)；②()，③(，+∞)；④(0，).其中正確的是_________________.