題目列表(包括答案和解析)
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已知函數(shù)f(x)=ln(x+1)+mx,當(dāng)x=0時(shí),函數(shù)f(x)取得極大值.
(Ⅰ)求實(shí)數(shù)m的值;
(Ⅱ)已知結(jié)論∶若函數(shù)f(x)=ln(x+1)+mx在區(qū)間(a,b)內(nèi)導(dǎo)數(shù)都存在,且a>-1,則存在x0∈(a,b),使得.試用這個(gè)結(jié)論證明∶若-1<x1<x2,函數(shù),則對(duì)任意x∈(x1,x2),都有f(x)>g(x);
(Ⅲ)已知正數(shù)λ1,λ2,…λn,滿(mǎn)足λ1+λ2+…+λn=1,求證∶當(dāng)n≥2,n∈N時(shí),對(duì)任意大于-1,且互不相等的實(shí)數(shù)x1,x2,…,xn,都有f(λ1x1+λ2x2+…+λnxn)>λ1f(x1)+λ2f(x2)+…+λnf(xn).
A是定義在[2,4]上且滿(mǎn)足如下條件的函數(shù)φ(x)組成的集合:
①對(duì)任意的x∈[1,2],都有φ(2x)∈(1,2);
②存在常數(shù)L(0<L<1),使得對(duì)任意的x1,x2∈[1,2],都有|φ(2x1)-φ(2x2)|≤L|x1-x2|.
(Ⅰ)設(shè)φ(2x)=,x∈[2,4],證明:φ(x)∈A
(Ⅱ)設(shè)φ(x)∈A,如果存在x0∈(1,2),使得x0=φ(2x0),那么這樣的x0是唯一的;
(Ⅲ)設(shè)φ(x)∈A,任取x1∈(1,2),令xn-1=φ(2xn),n=1,2,…,證明:給定正整數(shù)k,對(duì)任意的正整數(shù)p,成立不等式|xk+p-xk|≤|x2-x1|
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