設(shè)數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)都為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為S_n，已知對任意n∈N*，S_n是a_n²和a_n的等差中項(xiàng)．
（Ⅰ）證明數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）證明

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜2；
（Ⅲ）設(shè)集合M={m|m=2k，k∈Z，且1000≤k＜1500}，若存在m∈M，使對滿足n＞m的一切正整數(shù)n，不等式S_n-1005＞

a 2 n

2

恒成立，求這樣的正整數(shù)m共有多少個(gè)？

設(shè)數(shù)列a₁，a₂，…，a_n，…的前n項(xiàng)的和S_n與a_n的關(guān)系是Sn=-ban+1-

1

(1+b)n

，其中b是與n無關(guān)的常數(shù)，且b≠-1．
（1）求a_n和a_n-1的關(guān)系式；
（2）寫出用n和b表示a_n的表達(dá)式；
（3）當(dāng)0＜b＜1時(shí)，求極限

lim

n→∞

Sn．

設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a₁=a，a_n+1=ca_n+1-c（n∈N^*），其中a，c為實(shí)數(shù)，且c≠0．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)a=

1

2

，c=

1

2

，bn=n(1-an)(n∈N*)，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

設(shè)數(shù)列a₁，a₂，…，a_n，…的前n項(xiàng)的和S_n與a_n的關(guān)系是S_n=ka_n+1，（其中k是與n無關(guān)的常數(shù)，且k≠1）．
（1）試寫出用n，k表示的a_n的表達(dá)式；
（2）若

lim

n→∞

sn=1，求k的取值范圍．

設(shè)數(shù)列{a_n}是一個(gè)無窮數(shù)列，記Tn=

n+2

i=1

2i-1ai+2a1-a3-2n+2an+1，n∈N^*．
（1）若{a_n}是等差數(shù)列，證明：對于任意的n∈N^*，T_n=0；
（2）對任意的n∈N^*，若T_n=0，證明：a_n是等差數(shù)列；
（3）若T_n=0，且a₁=0，a₂=1，數(shù)列b_n滿足bn=2an，由b_n構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列3，b₂，b₃，…，設(shè)這個(gè)新數(shù)列的前n項(xiàng)和為S_n，若S_n可以寫成a^b，（a，b∈N，a＞1，b＞1），則稱S_n為“好和”．問S₁，S₂，S₃，…，中是否存在“好和”，若存在，求出所有“好和”；若不存在，說明理由．