Question

設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a₁=a，a_n+1=ca_n+1-c（n∈N^*），其中a，c為實(shí)數(shù)，且c≠0．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)a=

1

2

，c=

1

2

，bn=n(1-an)(n∈N*)，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：（1）整理a_n+1=ca_n+1-c得a_n+1-1=c（a_n-1），進(jìn)而判斷出當(dāng)a₁=a≠1時(shí)，{a_n-1}是首項(xiàng)為a-1，公比為c的等比數(shù)列，進(jìn)而根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求得其通項(xiàng)公式，當(dāng)a=1時(shí)，也成立，進(jìn)而可得答案．
（2）根據(jù)（1）中的a_n，求得b_n，進(jìn)而根據(jù)錯(cuò)位相減法求得數(shù)列的前n項(xiàng)的和．

解答：解：（Ⅰ）∵a_n+1=ca_n+1-c，a_n+1-1=c（a_n-1），
∴當(dāng)a₁=a≠1時(shí)，{a_n-1}是首項(xiàng)為a-1，公比為c的等比數(shù)列
∴a_n-1=（a-1）c^n-1
當(dāng)a=1時(shí)，a_n=1仍滿足上式．
∴數(shù)列{a_n-1}的通項(xiàng)公式為a_n=（a-1）c^n-1+1（n∈N^*）；
（Ⅱ）由（1）得，當(dāng)a=

1

2

，c=

1

2

時(shí)，
bn=n(1-an)=n{1-[1-(

1

2

)n]}=n(

1

2

)n．
∴Sn=b1+b2++bn=

1

2

+2×(

1

2

)2+3×(

1

2

)3++n×(

1

2

)n．

1

2

Sn=(

1

2

)2+2×(

1

2

)3++n×(

1

2

)n+1．
兩式作差得

1

2

Sn=

1

2

+(

1

2

)2++(

1

2

)n-n×(

1

2

)n+1．
Sn=1+

1

2

+(

1

2

)2++(

1

2

)n-1-n×(

1

2

)n
=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

-n×(

1

2

)n=2×(1-

1

2n

)-

n

2n

．
∴Sn=2-

n+2

2n

．

點(diǎn)評：本題主要考查了數(shù)列的遞推式，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和用錯(cuò)位相減法求和．考查了學(xué)生綜合分析問題的能力．