江蘇省江寧高級中學(xué)2009屆高三迎一模聯(lián)考

數(shù)學(xué)試題

一、填空題(本大題共14小題,每小題5分,共70分,請將答案填寫在答題卷相應(yīng)位置)

1.命題“”的否定是       

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2.已知復(fù)數(shù),是虛數(shù)單位),若為純虛數(shù),則實(shí)數(shù)=___

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3.直線x+ay+3=0與直線ax+4y+6=0平行的充要條件是__

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4. 執(zhí)行右邊的程序框圖,若,則輸出的      

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5.已知點(diǎn)A、B、C滿足,,則的值是_____________.

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6.若直線過點(diǎn),則以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心,長為半徑的圓的面積的最小值是               

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7.已知拋物線的準(zhǔn)線與雙曲線的左準(zhǔn)線重合,則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為           .

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8.分別在區(qū)間[1,6]和[2,4]內(nèi)任取一實(shí)數(shù),依次記為m和n,則的概率為       ★   

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9.設(shè)等差數(shù)列的公差為,若的方差為1,則=___

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10.已知函數(shù)在定義域內(nèi)是增函數(shù),則實(shí)數(shù)的取值范圍為__

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11.已知、是橢圓+=1的左右焦點(diǎn),弦過F1,若的周長為,則橢圓的離心率為       

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12.實(shí)數(shù)滿足,且,則      ★     

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13.已知一個(gè)正三棱錐P-ABC的主視圖如圖所示,若AC=BC=,PC=,則此正三棱錐的全面積為_________

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14.已知命題:“在等差數(shù)列中,若,則為定值”為真命題,由于印刷問題,括號處的數(shù)模糊不清,可推得括號內(nèi)的數(shù)為____

 

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二、解答題:(本大題共6道題,計(jì)90解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟

15.在△ABC中,分別是角A,B,C的對邊,,

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(Ⅰ)求角的值;

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(Ⅱ)若,求△ABC面積.

 

 

 

 

 

 

 

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16.在四棱錐P-ABCD中,∠ABC=∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD=60°,PA⊥平面ABCD,E為PD的中點(diǎn),PA=2AB=2.

(Ⅰ)求四棱錐P-ABCD的體積V;

(Ⅱ)若F為PC的中點(diǎn),求證PC⊥平面AEF;

(Ⅲ)求證CE∥平面PAB.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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17.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且

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(Ⅰ)求數(shù)列通項(xiàng)公式;

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(Ⅱ)若,,求證數(shù)列是等比數(shù)列,并求數(shù)列的前項(xiàng)和

 

 

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18.經(jīng)市場調(diào)查,某超市的一種小商品在過去的近20天內(nèi)的銷售量(件)與價(jià)格(元)均為時(shí)間t(天)的函數(shù),且銷售量近似滿足g(t)=80-2t(件),價(jià)格近似滿足(元).

(Ⅰ)試寫出該種商品的日銷售額y與時(shí)間t(0≤t≤20)的函數(shù)表達(dá)式;

(Ⅱ)求該種商品的日銷售額y的最大值與最小值.

 

 

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19. 已知⊙過點(diǎn),且與⊙:關(guān)于直線對稱.

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(Ⅰ)求⊙的方程;

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(Ⅱ)設(shè)為⊙上的一個(gè)動點(diǎn),求的最小值;

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(Ⅲ)過點(diǎn)作兩條相異直線分別與⊙相交于,且直線和直線的傾斜角互補(bǔ), 為坐標(biāo)原點(diǎn),試判斷直線是否平行?請說明理由.

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20.已知函數(shù)圖象上一點(diǎn)P(2,f(2))處的切線方程為

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(Ⅰ)求的值;

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(Ⅱ)若方程內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根,求的取值范圍(其中為自然

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對數(shù)的底,);

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(Ⅲ)令,如果圖象與軸交于,AB中點(diǎn)為,求證:

 

 

 

 

 

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數(shù)學(xué)試題(附加題)

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21.選修4―2 矩陣與變換

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已知矩陣,求特征值λ1,λ2及對應(yīng)的特征向量α1,α2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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22.已知直線和圓,判斷直線和圓的位置關(guān)系.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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23.如圖,四棱錐中,底面ABCD是矩形,⊥平面ABCD,且,,點(diǎn)E是AB上一點(diǎn),AE等于何值時(shí),二面角的平面角為

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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24.已知方程為常數(shù)。

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(Ⅰ)若,,求方程的解的個(gè)數(shù)的期望;

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(Ⅱ)若內(nèi)等可能取值,求此方程有實(shí)根的概率.

 

 

 

 

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1.    2.     3.a(chǎn)=-2.     4.    5.    6.  

7.       8.     9.  10.     11.   12.0   13.    14.18

 

15.解:(Ⅰ)由,         3分

,                      5分

,∴  。                                     7分

(Ⅱ)由可得,,                    9分

得,,                                    12分

所以,△ABC面積是                              14分

 

 

17.解:(Ⅰ)在Rt△ABC中,AB=1,

∠BAC=60°,∴BC=,AC=2.

在Rt△ACD中,AC=2,∠CAD=60°,

∴CD=2,AD=4.

∴SABCD

.……………… 3分

則V=.     ……………… 5分

(Ⅱ)∵PA=CA,F(xiàn)為PC的中點(diǎn),

∴AF⊥PC.            ……………… 7分

∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥CD.

∵AC⊥CD,PA∩AC=A,

∴CD⊥平面PAC.∴CD⊥PC.

∵E為PD中點(diǎn),F(xiàn)為PC中點(diǎn),

∴EF∥CD.則EF⊥PC.       ……… 9分

∵AF∩EF=F,∴PC⊥平面AEF.…… 10分

(Ⅲ)證法一:

取AD中點(diǎn)M,連EM,CM.則EM∥PA.

∵EM 平面PAB,PA平面PAB,

∴EM∥平面PAB.   ……… 12分

在Rt△ACD中,∠CAD=60°,AC=AM=2,

∴∠ACM=60°.而∠BAC=60°,∴MC∥AB.

∵M(jìn)C 平面PAB,AB平面PAB,

∴MC∥平面PAB.  ……… 14分

∵EM∩MC=M,

∴平面EMC∥平面PAB.

∵EC平面EMC,

∴EC∥平面PAB.   ……… 15分

證法二:

延長DC、AB,設(shè)它們交于點(diǎn)N,連PN.

∵∠NAC=∠DAC=60°,AC⊥CD,

∴C為ND的中點(diǎn).         ……12分

∵E為PD中點(diǎn),∴EC∥PN.……14分

∵EC 平面PAB,PN 平面PAB,

∴EC∥平面PAB.   ……… 15分

 

 

17.解:(Ⅰ)n≥2時(shí),.     ………………… 4分

n=1時(shí),,適合上式,

.               ………………… 5分

(Ⅱ),.          ………………… 8分

∴數(shù)列是首項(xiàng)為4、公比為2的等比數(shù)列.   ………………… 10分

,∴.……………… 12分

Tn.            ………………… 14分

18.解:(Ⅰ) …… 4分

                        …………………… 8分

 

 

 

 

(Ⅱ)當(dāng)0≤t<10時(shí),y的取值范圍是[1200,1225],

在t=5時(shí),y取得最大值為1225;               …………………… 11分

當(dāng)10≤t≤20時(shí),y的取值范圍是[600,1200],

在t=20時(shí),y取得最小值為600.               …………………… 14分

(答)總之,第5天,日銷售額y取得最大為1225元;

第20天,日銷售額y取得最小為600元.         …………………… 15分

 

 

 

19. 解:(Ⅰ)設(shè)圓心,則,解得…………………(3分)

則圓的方程為,將點(diǎn)的坐標(biāo)代入得,故圓的方程為

…………(5分)

(Ⅱ)設(shè),則,且…………………(7分)

==,所以的最小值為(可由線性規(guī)劃或三角代換求得)

…………(10分)

(Ⅲ)由題意知, 直線和直線的斜率存在,且互為相反數(shù),故可設(shè),

,由,得

……………………(11分)

  因?yàn)辄c(diǎn)的橫坐標(biāo)一定是該方程的解,故可得………………………

(13分)

  同理,,所以=

  所以,直線一定平行…………………………………………………………………(15分)

20.解:(Ⅰ),

,且.    …………………… 2分

解得a=2,b=1.                           …………………… 4分

(Ⅱ),令

,令,得x=1(x=-1舍去).

內(nèi),當(dāng)x∈時(shí),,∴h(x)是增函數(shù);

當(dāng)x∈時(shí),,∴h(x)是減函數(shù).     …………………… 7分

則方程內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根的充要條件是……10分

.                                               …………………… 12分

(Ⅲ),

假設(shè)結(jié)論成立,則有

①-②,得

由④得

.即

.⑤                              …………………… 14分

,(0<t<1),

>0.∴在0<t<1上增函數(shù).

,∴⑤式不成立,與假設(shè)矛盾.

.                     ……………………………16

 


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