北 京 2009年 高 考 模 擬 試 卷

數(shù)學(理科)試題

 

題  號

得  分

 

 

 

注意事項:

1.本試題分為第Ⅰ卷和第Ⅱ卷兩部分,滿分150分,考試時間為120分鐘。

2.答第Ⅰ卷前務必將自己的姓名、考號、考試科目涂寫在答題卡上?荚嚱Y(jié)束,試題和答題卡一并收回。

3.第Ⅰ卷每題選出答案后,都必須用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號(ABCD)涂黑,如需改動,必須先用橡皮擦干凈,再改涂其它答案。

 

第Ⅰ卷

一、選擇題:在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的,請把正確答案的代號填在題后的括號內(nèi)(本大題共12個小題,每小題5分,共60分)。

1.設全集為R,集合,,則有                               (    )

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       A.                     B.    

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       C.  D.         

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2.若是正數(shù)的充要條件是                                                           (    )

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A.                 B.              C.        D.

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3.在等差數(shù)列{a}中,已知a=2,a+a=13,則a+a+a等于                   (    )

A.40                 B.42                    C.43                   D.45

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4.若,則直線=1必不經(jīng)過                                  (    )

    A.第一象限           B.第二象限      C.第三象限         D.第四象限

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5.已知數(shù)列{an},,則=                      (    )

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A.               B.             C.              D.

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6.如右圖,正方體中,E、F分別為棱中點,G為棱上任意一點,則直線 AE與直線FG所成的角為  (    )      

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       A.                   B.           

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       C.              D.

 

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7.已知函數(shù)的定義域為,函數(shù)的圖象如圖所示,則函數(shù)的圖象是

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                                                                                                                              (    )

 

 

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8.二項式的展開式中含的項, 則n的一個可能值是                   (    )

       A.8                        B.9                   C.5                         D.6

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9.若A,  B是平面內(nèi)的兩個定點, 點P為該平面內(nèi)動點,  且滿足向量夾角為銳角, , 則點P的軌跡是                                          (    )

       A.直線  (除去與直線AB的交點)     B.圓   (除去與直線AB的交點)        

       C.橢圓  (除去與直線AB的交點)      D.拋物線(除去與直線AB的交點)

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10.若關于的方程x2?(a2+b2?6b)x+ a2+b2+2a?4b+1=0的兩個實數(shù)根x1,x2滿足x1≤0≤x2≤1,則a2+b2+4a的最大值和最小值分別為                                              (    )

       A.和5+4                                      B. ?和5+4     

       C. ?和12                                           D. ?和15?4

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11.數(shù)列{an}中,a1=2,   , , 又,  則a2009= (    )

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       A.2                     B.                C.                 D .1

 

 

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12.已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù),若在區(qū)間[1,a](a>2)上單調(diào)遞增且。則以下不等式不一定成立的是                                                 (    )

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A.                               B.

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C.                     D.

第Ⅱ卷

20080801

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13.已知(xn的展開式中第二項與第三項的系數(shù)之和等于27,則n等于      ,系數(shù)最大的項是第         項。

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14.若不等式1-<0有解,則實數(shù)a的范圍是             

20090505

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16.等腰直角三角形ABC中,AB=1,銳角頂點C在平面α內(nèi),β∥α,α、β的距離為1, 隨意旋轉(zhuǎn)三角形ABC,則三角形ABC在β另一側(cè)的最大面積為         。

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三、解答題:解答應寫出文字說明.證明過程或演算步驟(本大題共6個大題,共70分)。

17.(本大題10分)本小題滿分12分)已知都是定義在上的函數(shù),若存在正實數(shù)使得總成立,則稱上的生成函數(shù).若,

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(1)判斷函數(shù)是否為上的生成函數(shù),請說明理由;

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(2)記上的生成的一個函數(shù),若,且的最大值為4,求

 

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18.(本大題12分)如圖,直三棱柱A1B1C1―ABC中,C1C=CB=CA=2,AC⊥CB. D、E分別為棱C1C、B1C1的中點.

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    (1)求與平面A1C1CA所成角的大。

    (2)求二面角B―A1D―A的大。

       (3)試在線段AC上確定一點F,使得EF⊥平面A1BD.

 

 

 

 

 

 

 

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19.(本大題12分)、個實習小組在顯微鏡下實測一塊矩形芯片,測得其長為的實習小組分別有個,個,個;測得其寬為的實習小組分別有個,個,個;設測量矩形芯片的長和寬分別為隨機變量,周長為;

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(1)分別在下表中,填寫隨機變量的分布列:

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長度

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長度

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長度

 

 

 

P

 

 

 

 

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長度

 

 

 

P

 

 

 

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(2)求周長的分布列和期望。

 

 

 

 

 

 

 

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20.(本大題12分,)在平面直角坐標系xOy中,已知點A(-1, 0)、B(1, 0), 動點C滿足條件:△ABC的周長為. 記動點C的軌跡為曲線W.

(Ⅰ)求W的方程;

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(Ⅱ)經(jīng)過點(0, )且斜率為k的直線l與曲線W 有兩個不同的交點P和Q,

求k的取值范圍;

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(Ⅲ)已知點M(),N(0, 1),在(Ⅱ)的條件下,是否存在常數(shù)k,使得向量共線?如果存在,求出k的值;如果不存在,請說明理由.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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21.(本大題12分)定義在關于原點對稱的區(qū)域上的任意函數(shù)都可以表示成一個奇函數(shù)和一個偶函數(shù)之和。已知,

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(1)求函數(shù)的表達式(要求必須化簡);

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(2)已知正項數(shù)列滿足:并且設,試用的表達式來表達

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(3)求證:

 

 

 

 

 

 

 

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22.(本大題12分)已知函數(shù)f(x)=ax+lnx ,其中a為實常數(shù),設e為自然對數(shù)的底數(shù).

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   (Ⅰ)若f(x)在區(qū)間(0,e上的最大值為-3,求a的值;

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   (Ⅱ)當a=-1時,試推斷方程 | f(x)|=是否有實數(shù)解.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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一、選擇題:(本大題共12小題,每小題5分,共60分)

<ul id="isv4y"><b id="isv4y"></b></ul>

20080801

2. 提示: 故選D

3. 提示:已知得d=3,a5=14,=3a5=42.故選B

4. 提示: 判斷cosα>0,sinα<0,數(shù)形結(jié)合.故選B

    <ul id="isv4y"></ul>
    • 20090505

      =  故選C

      6. 提示: 如圖,取G的極端位置, 問題轉(zhuǎn)化為求AE與的位置關系,取AD的中點M,連接MF、可證 可見AE與FG所成的角為  A故選D

      7. 提示: 當x>0時,的圖像相同,故可排除(A)、(C)、(D).故選B

      8.=5,得3n=5r+10 , 當r=1時,n=5.故選C

      9.提示由,得,所以,  點P的軌跡是圓(除去與直線AB的交點).故選B

       

       

       

      10.提示:令f(x)= x2?(a2+b2?6b)x+ a2+b2+2a?4b+1,則由題意有f(0)= a2+b2+2a?6b+1≤0且f(1)=2a+2b+2≥0,即(a+1)2+(b?2)2≤4且a+b+1≥0,在直角坐標平面aOb上作出其可行域如圖所示,而a2+b2+4a=(a+2)2+b2?4的幾何意義為|PA|2?4(其中P(a,b)為可行域內(nèi)任意的一點,A(?2,0)). 由圖可知,當P點在直線l:a+b+1=0上且AP⊥l時取得最小值;當P點為AC(C為圓(a+1)2+(b?2)2≤4的圓心)的延長線與圓C的交點時達到最大值. 又A點的直線l的距離為,|AC|=,所以a2+b2+4a的最大值和最小值分別為?和(+2)2?4=5+4.故選B.

      11.提示: 易知數(shù)列{an}是以3為周期的數(shù)列,a1=2,  a2=   ,   a3= ,  a4 =2, 

      a2009=故選B

      12.提示: ∵是定義在R上的奇函數(shù),

      ,又由已知,

      ,(A)成立;

      ,

      ∴(B)成立;當,又為奇函數(shù),

      ,,且,

      ∴(C)即,

      ∴(C)成立;對于(D),有,由于的符號不確定,

      未必成立。故選D

       

       

       

      二、填空題:(本大題共4小題,每小題5分,共20分)

      13.5;提示:  Tr+1=(x)n-r(-)r,由題意知:-+=27n=9

      ∴展開式共有10項,二項式系數(shù)最大的項為第五項或第六項,故項的系數(shù)最大的項為第五項。

      14.(0,1)∪(1,10) ;提示: 當a>1時,不等式化為10-ax>a,要使不等式有解,必須10-a>0

      ∴1<a<10

      當0<a<1時,不等式化為0<10-ax<a10-a<ax<10不等式恒有解

      故滿足條件a的范圍是(0,1)∪(1,10)

      15. ;提示: P=1-=

      16. 提示:當直角三角形的斜邊垂直與平面時,所求面積最大。

      三、解答題:(本大題共6小題,共70分)

      17.(本大題10分)(1)不是,假設上的生成函數(shù),則

      存在正實數(shù)使得恒成立,令,得,與

      矛盾,

      所以函數(shù)一定不是上的生成函數(shù)…………5分

      (2)設,因為

      所以,當且僅當時等號成立,

      ,

        …………………………………………10分

       

      18.(Ⅰ)連接A1C.∵A1B1C1-ABC為直三棱柱,

      ∴CC1⊥底面ABC,∴CC1⊥BC.

             ∵AC⊥CB,∴BC⊥平面A1C1CA. ……………1分

             ∴與平面A1C1CA所成角,

      與平面A1C1CA所成角為.…………4分

      (Ⅱ)分別延長AC,A1D交于G. 過C作CM⊥A1G 于M,連結(jié)BM,

             ∵BC⊥平面ACC­1A1,∴CM為BM在平面A1C1CA內(nèi)的射影,

             ∴BM⊥A1G,∴∠CMB為二面角B―A1D―A的平面角,

             平面A1C1CA中,C1C=CA=2,D為C1C的中點,

             ∴CG=2,DC=1 在直角三角形CDG中,,

             即二面角B―A1D―A的大小為.……………………8分

      (Ⅲ)取線段AC的中點F,則EF⊥平面A1BD.

      證明如下:

      ∵A1B1C1―ABC為直三棱柱,∴B1C1//BC,

      ∵由(Ⅰ)BC⊥平面A1C1CA,∴B1C1⊥平面A1C1CA,

      ∵EF在平面A1C1CA內(nèi)的射影為C1F,當F為AC的中點時,

      C1F⊥A1D,∴EF⊥A1D.

      同理可證EF⊥BD,∴EF⊥平面A1BD.……………………12分

      19.(解:(1)分別在下表中,填寫隨機變量的分布列:

      …4分

         (2);;

          

          

       …………………….. 9分

        ∴周長的分布列為:

        ……….. 10分

         …. 12分

      20.(Ⅰ) 設C(x, y),

      , ,  

      ,

      ∴ 由定義知,動點C的軌跡是以A、B為焦點,

      長軸長為的橢圓除去與x軸的兩個交點.

      .  ∴

      ∴ W:   . …………………………………………… 2分

      (Ⅱ) 設直線l的方程為,代入橢圓方程,得

      整理,得.         ①………………………… 5分

      因為直線l與橢圓有兩個不同的交點P和Q等價于

      ,解得

      ∴ 滿足條件的k的取值范圍為 ………… 7分

      (Ⅲ)設P(x1,y1),Q(x2,y2),則=(x1+x2,y1+y2),

      由①得.                 ②

                      ③

      因為,, 所以.……………………… 11分

      所以共線等價于

      將②③代入上式,解得

      所以存在常數(shù)k,使得向量共線.…………………… 12分

      21.解:(1)由題意得

      解得,將代入,化簡得

      ;………………4分    

      (2)由題知,因為,所以

      ,則,

      并且,因此,

      從而,得,………..8分

      (2)因為,故

      ,

      從而………………12分

      22.解: Ⅰ)∵=a+,x∈(0,e),∈[,+∞………………1分

         (1)若a≥-,則≥0,從而f(x)在(0,e)上增函數(shù).

             ∴f(x)max =f(e)=ae+1≥0.不合題意. …………………………………3分

         (2)若a<-,則由>0a+>0,即0<x<-

             由f(x)<0a+<0,即-<x≤e

             ∴f(x)=f(-)=-1+ln(-).

             令-1+ln(-)=-3,則ln(-)=-2.∴-=e,

             即a=-e2. ∵-e2<-,∴a=-e2為所求. ……………………………6分

         (Ⅱ)當a=-1時,f(x)=-x+lnx,=-1+=

             當0<x<1時,>0;當x>1時,<0.

             ∴f(x)在(0,1)上是增函數(shù),在(1,+∞)上減函數(shù).

             從而f(x)=f(1)=-1.∴f(x)=-x+lnx≤-1,從而lnx≤x-1.   ………8分

             令g(x)=|f(x)|-=x-lnx=x-(1+)lnx-

         (1)當0<x<2時,有g(x)≥x-(1+)(x-1)-=>0.

         (2)當x≥2時,g′(x)=1-[(-)lnx+(1+)?]=

      =

             ∴g(x)在[2,+∞上增函數(shù),

      g(x)≥g(2)=

             綜合(1)、(2)知,當x>0時,g(x)>0,即|f(x)|>

      故原方程沒有實解.       ……………………………………12分

       

       


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