湖北省百所重點(diǎn)中學(xué)

2009 屆 高 三 聯(lián) 合 考 試

數(shù)學(xué)試題(理科)

 

考生注意:

1.本試卷共150分,考試時間120分鐘。

2.請將各題答案填在試卷后面的答題卷上。

3.本試卷主要考試內(nèi)容:集合與簡易邏輯、函數(shù)、數(shù)列(約占70%),排列、組合、二項式定理、概率、以及選修II的概率與統(tǒng)計、極限、數(shù)學(xué)歸納法、導(dǎo)數(shù)、復(fù)數(shù)(約占30%)。

一、選擇題(本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。)

1.設(shè)A、B是非空數(shù)集,定義:,則的非空真子集個數(shù)為                                                                                               (    )

       A.64                       B.32                      C.31                       D.30

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2.已知的值為            (    )

       A.4                        B.―4                    C.4+4i                    D.2i

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3.已知函數(shù)的圖象過點(diǎn)(3,4),則a等于                                        (    )

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       A.                    B.                   C.                    D.2

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4.若函數(shù)的定義域為                                 (    )

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       A.[0,1]                 B.         C.           D.[1,2]

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5.如果函數(shù)那么       (    )

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       A.                      B.

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       C.                       D.

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6.如果隨機(jī)變量等于

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   (其中內(nèi)的取值概率為0.954;在內(nèi)的取值概率為0.997)                                                       (    )

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       A.0.5                      B.0.683                 C.0.954                  D.0.997

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8.函數(shù)

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                                                                                                                       (    )

       A.奇函數(shù)                                               B.偶函數(shù)

       C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)                      D.非奇非偶函數(shù)

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9.已知函數(shù)是以2為周期的偶函數(shù),且當(dāng)的值為                      (    )

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       A.                      B.                      C.                    D.

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10.函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個數(shù)為

                                                                                                                              (    )

       A.1                        B.2                        C.3                         D.4

 

 

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二、填空題(本大題共5小題,每小題5分,共25分。把答案填在答題卷中的橫線上。)

11.已知的必要條件,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是       

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      82615205

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      13.已知函數(shù)=      。

       

       

       

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      14.如圖,一個類似楊輝三角的遞推式,則(1)第n

      的首尾兩數(shù)均為         ,(2)第n行的第2個數(shù)

              。

       

       

       

       

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      15.已知函數(shù)給出以下四個命題:

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             ①若;

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             ②若

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             ③對稱;

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             ④

          其中正確命題的序號是        (寫出所有正確命題的序號)。

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      三、解答題(本大題共6小題,共75分。解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟)

      16.(本小題滿分12分)

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          已知函數(shù)

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         (1)求的定義域;

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         (2)求的值域。

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

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      17.(本小題滿分12分)

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              設(shè)A是符合以下性質(zhì)的函數(shù)

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          上是減函數(shù)。

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         (1)判斷函數(shù)是否屬于集合A,并簡要說明理由;

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         (2)把(1)中你認(rèn)為是集合A中的一個函數(shù)記為對任意的總成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍。

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

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      18.(本小題滿分12分)

              某旅游點(diǎn)有50輛自行車供游客租賃使用,管理這些自德車的費(fèi)用是每日115元。

      根據(jù)經(jīng)驗,若每輛自行車的日租金不超過6元,則自行車可以全部租出;若超出6元,則每超過1元,租不出的自行車就增加3輛。

      為了便于結(jié)算,每輛自行車的日租金x(元)只取整數(shù),并且要求出租自行車一日的總收入必須高于這一日的管理費(fèi)用,用y(元)表示出租自行車的日凈收入(即一日中出租自行車的總收入減去管理費(fèi)用后的所得)。

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         (1)求函數(shù)的解析式及其定義域;

         (2)試問當(dāng)每輛自行車的日租金定為多少元時,才能使一日的凈收入最多?

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

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      19.(本小題滿分13分)

              2008年中國北京奧運(yùn)會吉祥物由5個“中國福娃”組成,分別叫貝貝、晶晶、歡歡、迎迎、妮妮。現(xiàn)有8個相同的盒子,每個盒子中放一只福娃,每種福娃的數(shù)量如下表:

      福娃名稱

      貝貝

      晶晶

      歡歡

      迎迎

      妮妮

      數(shù)量

      1

      2

      3

      1

      1

          從中隨機(jī)地選取5只。

         (1)求選取的5只恰好組成完整“奧運(yùn)吉祥物”的概率;

         (2)若完整地選取奧運(yùn)會吉祥物記100分;若選出的5只中僅差一種記80分;差兩種記60分;以此類推。設(shè)ξ表示所得的分?jǐn)?shù),求ξ的分布列和期望值。

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

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      20.(本小題滿分12分)

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          設(shè)函數(shù)

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         (1)若表達(dá)式;

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         (2)在(1)的條件下,當(dāng)的取值范圍;

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         (3)設(shè)

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

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      21.(本小題滿分14分)

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      數(shù)列

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         (1)求證:①;②;

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         (2)比較的大小,并加以證明。

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

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      1.D  2.B  3.D  4.B  5.A  6.B  7.C  8.B  9.A  10.C

      11.    12.    13.3    14.    15.①②④

      16.解:(1)由題意,得 ………………2分

      解不等式組,得……4分

         (2)                                                      ………………6分

                                                       ………………7分

      上是增函數(shù)。                                                ………………10分

      ,

                                                               ………………12分

      17.解:(1),

      不在集合A中。                                                         ………………3分

      ,                      ………………5分

      上是減函數(shù),

      在集合A中。                                        ………………8分

         (2)當(dāng),          ………………11分

      又由已知,

      因此所求的實(shí)數(shù)k的取值范圍是                              ………………12分

      18.解:(1)當(dāng)

      定義域為                                           ………………7分

         (2)對于,                        

      顯然當(dāng)(元),                                       ………………9分

      ∴當(dāng)每輛自行車的日租金定在11元時,才能使一日的凈收入最多!12分

      19.解:(1)選取的5只恰好組成完整“奧運(yùn)吉祥物”的概率

      ξ的分布列為

      ξ

      100

      80

      60

      40

      P

                                                                                                     ………………11分

                                            ………………13分

      20.解:(1)恒成立,

      從而              ………………4分

         (2)由(1)可知,

      由于是單調(diào)函數(shù),

                         ………………8分

         (3)

      上是增函數(shù),

                                                                                                     ………………12分

      21.(1)證明:①因為

      當(dāng)且僅當(dāng)

      因為       ………………3分

      ②因為,由①得    (i)

      下面證明:對于任意成立。

          根據(jù)(i)、(ii)得                                                    ………………9分

         (2)解:由

      從而

      因為

                                                                                                     ………………11分

      當(dāng)

                                                                     ………………14分

       

       

       


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