南昌市2008-2009學年度高三測試卷數(shù)學(3

一、             選擇題:本大題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。

1.已知集合,則是    。  。

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A.     B.       C.       D.

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2.(文)在數(shù)列{}中,若,且對任意的,則數(shù)列前15項的和為(    )

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       A.                  B.30                      C.5                        D.

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(理) 若復數(shù),為虛數(shù)單位)是純虛數(shù),則實數(shù)的值為 (    )                      

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  A.        B.13         C.         D. -6

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3.若,則下列不等關系中不能成立的是(   )

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A.    B.    C.     D.

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4.設分別是的三個內角所對的邊,若的( 。

 A.充分不必要條件;  B.必要不充分條件;  C.充要條件;  D.既不充分也不必要條件;

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5.設,,是空間三條直線,,是空間兩個平面,則下列命題中,逆命題不成立的是(    )

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A  當時,若,則    

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B  當時,若,則

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  C  當,且內的射影時,若,則

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  D  當,且時,若,則

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6.設的展開式的各項系數(shù)之和為M,而二項式系數(shù)之和為N,且M-N=992。則展開式中x2項的系數(shù)為(    )

       A.150                    B.-150                 C.250                     D.-250

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7.將A、B、C、D四個球放入編號為1,2,3的三個盒子中,每個盒子中至少放一個球且A、B兩個球不能放在同一盒子中,則不同的放法有(     )

       A.15                      B.18                      C.30                      D.36

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8.(文)已知=(2cosα,2sinα), =(3cosβ,3sinβ),的夾角為60°,則直線

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xcosα-ysinα+=0與圓(x-cosβ)2+(y+sinβ)2=1的位置關系是(    )

A.相交            B.相切                   C.相離                   D.不能確定

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 (理)統(tǒng)計表明,某省某年的高考數(shù)學成績,現(xiàn)隨機抽查100名考生的數(shù)學試卷,則成績超過120分的人數(shù)的期望是(    )

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(已知

A. 9或10人      B. 6或7人      C. 3或4人        D. 1或2人

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9.

      1,3,5

           A.8               B.10            C.12             D.14

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      10.已知,則當m+n取得最小值時,橢圓的離心率為(    )

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      A.              B.             C.             D.

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      11.關于函數(shù)有下列命題:

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      的最大值是;②是以為最小正周期的周期函數(shù);

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      在區(qū)間上是減函數(shù);

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      ④將函數(shù)的圖象向左平移個單位后,與已知函數(shù)的圖象重合.

      其中正確命題的序號是(     )

      A.①②③                      B.①②          C.②③④        D.①②③④

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      12. 以正方體的任意三個頂點為頂點作三角形,從中隨機地取出兩個三角形,則這兩個三角形不共面的概率為 (    )                                                          

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      A.      B.    C.    D.

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      二、             填空題:本大題共4小題,每小題4分,共16分。把答案填寫在題中的橫線上。

      13..某路段檢查站監(jiān)控錄象顯示,在某時段內,有

      1000輛汽車通過該站,現(xiàn)在隨機抽取其中的200

      輛汽車進行車速分析,分析的結果表示為如下的

      頻率分布直方圖,則估計在這一時段內通過該站

      的汽車中車速度不小于90km/h 的約有  

           輛(注:分析時車速均取整數(shù))。

       

       

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      14. (文)已知平面上三點A、B、C滿足1,則

      的值等于        .

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      (理)已知函數(shù)在R上連續(xù),則      .

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      15.設命題,命題,若命題是命題的必要不充分條件,則r的最大值為        .

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      16.如圖,正方體,則下列四個命題:

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      在直線上運動時,三棱錐的體積不變;

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      在直線上運動時,直線AP與平面ACD1所成角的大小不變;

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      在直線上運動時,二面角的大小不變;

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      ④M是平面上到點D和距離相等的點,則M點的軌跡是過點的直線

      其中真命題的編號是            (寫出所有真命題的編號)

       

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      三、解答題:本大題共六道小題,共74分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

      17.(本小題滿分12分)18.已知向量=(sinB,1-cosB),且與向量 = (2,0)所成角為,其中A、B、C是△ABC的內角.

      (Ⅰ)求角B的大;

      (Ⅱ)求sinA + sinC的取值范圍.

       

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      18.(本小題滿分12分)(文科做)學校文娛隊的每位隊員唱歌、跳舞至少會一項,已知會唱歌的有2人,會跳舞的有5人,現(xiàn)從中選2人.設為選出的人中既會唱歌又會跳舞的人數(shù),且大于0的概率為.(Ⅰ)求文娛隊的人數(shù);(Ⅱ)寫出的概率.

      (理科做)某中學開展“創(chuàng)建文明城市知識競賽”活動,競賽題由20道選擇題構成,每道選擇題有4個選項,其中有且僅有1個選項是正確的,要求學生在規(guī)定時間內通過筆試完成,且每道題必須選出一個選項(不得多選或不選),每道題選正確得6分。已知學生甲對任一道題選擇正確的概率為;學生乙由于未作準備,因此只能從每道題的4個選項中隨機地選擇1個.

      (Ⅰ)若選錯得0分,比較甲得66分的概率與乙得54分的概率的大;

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      (Ⅱ)為防止個別學生像乙那樣隨機地作出選擇,學校決定對每道選擇錯誤的倒扣若干分,但倒扣太多對學生不公平,倒扣太少又達不到杜絕亂選的目的,倒扣的分數(shù),應該恰到好處,使亂選一通的學生一無所獲,換句話說,如果學生每道題都隨機選擇,那么他20道題所得總分的數(shù)學期望應該是0.問:對每道題選擇錯誤應該倒扣多少分比較合適?

       

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      19.(本小題滿分12分)正四面體A-BCD的棱長為1,(Ⅰ)如圖(1)M為CD中點,求異面直線AM與BC所成的角;(Ⅱ)將正四面體沿AB、BD、DC、BC剪開,作為正四棱錐的側面如圖(2),求二面角M-AB-E的大;(Ⅲ)若將圖(1)與圖(2)面ACD重合,問該幾何體是幾面體(不需要證明),并求這幾何體的體積。

       

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      20.(本小題滿分12分)(文科)已知A、B、C是直線l上的三點,向量,,

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      滿足:-(y+3ax)+(x3-1)=0.

      (Ⅰ)求函數(shù)y=f(x)的單調區(qū)間;

      (Ⅱ)當a=1時,求證:直線4x+y+m=0不可能是函數(shù)y=f(x)圖象的切線.

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      (理科)已知A、B、C是直線l上的三點,向量,,滿足:-[y+2f /(1)]+ln(x+1)=.(Ⅰ)求函數(shù)y=f(x)的表達式;(Ⅱ)若x>0,證明:f(x)>;

      (Ⅲ)若不等式x2≤f(x2)+m2-2bm-3時,x∈[-1,1]及b∈[-1,1]都恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.

       

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      21.(本小題滿分12分)已知橢圓  是拋物線的一條切線。

      (I)求橢圓的方程;

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      (Ⅱ)過點的動直線L交橢圓C于A、B兩點,試問:在坐標平面上是否存在一個定點T,使得以AB為直徑的圓恒過點T?若存在,求出點T的坐標;若不存在,請說明理由。

       

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      22. (本小題滿分14分)(文科做)已知曲線上的點作曲線的切線 軸于點,再過軸的平行線交曲線C于點,再過作曲線C的切線軸于點,再過軸的平行線交曲線C于點,…,依次作下去,記點的橫坐標為.

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      (Ⅰ)求數(shù)列的通項公式; 

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      (Ⅱ)記,設數(shù)列的前項和為,求證:.

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       ( 理科做)定義在(0,+∞)的函數(shù)f(x)=,其中e=2.71828……是自然對數(shù)的底數(shù),a∈R.

      (Ⅰ)若函數(shù)f(x)在點x=1處連續(xù),求a的值;

      (Ⅱ)若函數(shù)f(x)為(0,1)上的單調函數(shù),求實數(shù)a 的取值范圍,并判斷此時函數(shù)f(x)在

      (0,+∞)上是否為單調函數(shù);

      (Ⅲ)當x∈(0,1)時,記g(x)=lnf(x)+x2-ax,試證明:

      對n∈N*,當n≥2時,有-<nk=1-n.

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

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      一、選擇題:每小題5分,共60分.

      BDCBB   DCBCB   AA

      二、填空題:每小題4分,共16分.

      13. 300      14.(文),(理)3。       ⒖       ⒗①③④.

      三、解答題:

      17.解:(Ⅰ)∵ =(sinB,1-cosB) , 且與向量=(2,0)所成角為

      ,∴ tan = ,    又∵ 0<B<p Þ 0< < ,

      ∴ = ,∴ B = 。      

      (Ⅱ)由(1)可得A + C = ,

       ∴,   8分

      ,∴, 10分,∴,

      ,當且僅當。  12分

      18.(文科))解:設既會唱歌又會跳舞的有x人,則文娛隊中共有(7-x)人,那么只會一項的人數(shù)是(7-2 x)人. (I)∵,∴

      ,∴.∴x=2. 故文娛隊共有5人.(8分)

      (II) .(12分)

      (理科)解:(Ⅰ) 甲得66分(正確11題)的概率為,……2分

      乙得54分(正確9題)的概率為,……4分

      顯然,即甲得66分的概率與乙得54分的概率一樣大. ……6分

      (Ⅱ)設答錯一題倒扣x分,則學生乙選對題的個數(shù)為隨機選擇20個題答對題的個數(shù)的期望為,得分為,

      ,令,得,

      即每答錯一題應該倒扣2分    ……12分

       

      19.解:(Ⅰ)取BD中點N.連AN、MN.  就是異面直線AM與BC所成的角,在中,      (4分)

      (Ⅱ)取BE中點P.連AP、PM,作連MH.  ,即AB  的平面角,在AMP中,

      ABP中,

      二面角的大小,為   (8分)

      (Ⅲ)若將圖(1)與圖(2)面ACD重合,該幾何體是5面體

      這斜三棱柱的體積=3VA-BCD=3´´´=                        (12分)

      20.(文科) (Ⅰ)  ∵-(y+3ax)+(x3-1)=0,∴=(y+3ax)-(x3-1)

      ∴(y+3ax)+[-(x3-1)]=1,即y=f(x)=x3-3ax………………………2分

      ∴f/(x)=3x23a=3(x2-a)…………………………………………………4分

          當a≤0時,f/(x)=3(x2-a)≥0對x∈R恒成立,f(x)的單調區(qū)間為(-∞,+∞)

          當a>0時,f/(x)>0,x<-或x>

      f/(x)<0得-<x<…………………………………………6分

          此時,函數(shù)f(x)在(-∞,-)和(,+∞)上是增函數(shù),

      在(-,)上是減函數(shù)……………………………………8分

          (Ⅱ)∵a=1,∴f/(x)=3x2-3,直線4x+y+m=0的斜率為-4………………9分

           假設f/(x)=-4,即3x2+1=0無實根

          ∴直線4x+y+m=0不可能是函數(shù)f(x)圖象的切線………………………………12分

      (理科)(Ⅰ)∵-[y+2f /(1)]+ln(x+1)=0,∴=[y+2f /(1)]-ln(x+1)

      由于A、B、C三點共線 即[y+2f /(1)]+[-ln(x+1)]=1…………………2分

      ∴y=f(x)=ln(x+1)+1-2f /(1)

      f /(x)=,得f /(1)=,故f(x)=ln(x+1)…………………………………4分

      (Ⅱ)令g(x)=f(x)-,由g/(x)=-=

               ∵x>0,∴g/(x)>0,∴g(x)在(0,+∞)上是增函數(shù)………………6分

            故g(x)>g(0)=0

                 即f(x)>………………………………………………………………8分

        。á螅┰坏仁降葍r于x2-f(x2)≤m2-2bm-3

          令h(x)=x2-f(x2)=x2-ln(1+x2),由h/(x)=x-=…………………10分

              當x∈[-1,1]時,h(x)max=0,∴m2-2bm-3≥0

      令Q(b)=m2-2bm-3,則

      得m≥3或m≤-3……………12分

      21.解:(I)由

      因直線相切    ,故所求橢圓方程為   (II)當L與x軸平行時,以AB為直徑的圓的方程:                     

      當L與x軸平行時,以AB為直徑的圓的方程:  

      即兩圓相切于點(0,1)

      因此,所求的點T如果存在,只能是(0,1).事實上,點T(0,1)就是所求的點,證明如下。

      當直線L垂直于x軸時,以AB為直徑的圓過點T(0,1)

      若直線L不垂直于x軸,可設直線L:

      記點

      ∴TA⊥TB,即以AB為直徑的圓恒過點T(0,1),故在坐標平面上存在一個定點T(0,1)滿足條件.

      22.(文科)解:(I)∵.  ∴曲線在點處的切線ln的斜率為.

      ∴切線ln的方程為.                (2分)

      得   ,∴.

      依題意點在直線上,∴  又.          (4分)

      ∴數(shù)列是1為首項,為公比的等比數(shù)列.     ∴.                 (5分)

      (Ⅱ)由已知.

      .                         ①

      .               ②

      ①―②得

      .   (9分)

             (10分)

      時,.

      又當時,.   ∴.∴當時,.

                 ∴.      (13分)綜上.  (14分)

      22.(理科)解: (Ⅰ)∵f(1)=1,∴f(x)=ea-1=1   ∴a=1         ……2分

      (Ⅱ) x∈(0,1)時,f(x)=xe,

      f'(x)=e+xe(-2x+a)=(-2x2+ax+1)e,……3分

        f'(x)≥0,

      ∵t(0)=1∴-2x2+ax+1>0在(0,1)恒成立Þ t (1) ≥0Þa ≥1……4分

      ∴當a≥1時,f(x)在(0,1)上是增函數(shù);  ……5分

      又當a=1時,f(x)在(0,+∞)也是單調遞增的;   ……6分

      當a>1時,∵=ea-1>1=f(1),此時,f(x)在(0,+∞)不一定是增函數(shù).…… 7分

       (Ⅲ)當x∈(0,1)時,g(x)=lnf(x)+x2-ax=lnx,當n≥2時,

      欲證:-<nk=1-n,

      即證-1-2-3-……-(n-1)<ln<1+++……+-n
      即需證

      -1-2-3-……-(n-1)<ln1+ln+ln+……+ln<1+++……+-n
      猜想1-<lnt<t-1(其中0<t<1).……8分

      構造函數(shù)h(t)=lnt-1+(0<t<1)
      ∵h'(t)=-=<0,∴h(t)在(0,1)上時單調遞減的,

      ∴h(t)>h(1)=0,即有l(wèi)nt>1-……10分

      設s(t)=lnt-t+1(0<t<1),

      同理可證s(t)<0,∴1-<lnt<t-1(0<t<1)成立   ……12分

      分別取t=,,……,(n≥2),所得n-1個不等式相加即得:

      -1-2-3-…-(n-1)<ln1+ln+ln+……+ln<1+++……+-n

      ∴-<nk=1-n       ……14分

       


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