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11．某娛樂中心有如下摸獎活動：拿8個白球和8個黑球放在一盒中，規(guī)定：凡摸獎?wù)�，�?人每次交費1元，每次從盒中摸出5個球，中獎情況為：摸出5個白球中20元，摸出 4個白球1個黑球中2元，摸出3個白球2個黑球中價值為0．5元的紀(jì)念品1件，其他情況無任何獎勵。若有1560人次摸獎，不計其他支出，用概率估計該中心收入錢數(shù) 為

A．120元 B．480元 C．980元 D．148元

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12．如圖甲所示，四邊形中，，將沿折起，使平面平面，構(gòu)成三棱錐，如圖乙所示，則二面角的正切值為

A． B． C． D．

第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）

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二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上．

13．不等式的解集是．

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14．已知過球面上、、三點的截面和球心的距離是球直徑的，且，則球面的面積為．

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15．設(shè)直線與圓的交點為，當(dāng)、取最小值時，實數(shù)的值為．

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16．給出下面四個命題，其中正確命題的序號是（填出所有正確命題的序號）．

① 若，則；

② 函數(shù)的值域為；

③ 數(shù)列一定為等比數(shù)列；

④ 兩個非零向量，若，則．

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三、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

17．（本小題滿分10分）

在中，、、分別是角、、的對邊，且、、，若，試判斷三角形的形狀．

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18．（本小題滿分12分）

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某城市甲、乙、丙3個旅游景點，一位客人游覽3個景點的概率分別是0．4、0．5、0．6，且客人是否游覽哪個景點互不影響．設(shè)表示客人離開該城市時游覽過的景點數(shù)與沒有游覽的景點數(shù)之差的絕對值．

（1）求的分布列及數(shù)學(xué)期望；

（2）記“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增”為事件，求事件的

概率，

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19．（本小題滿分12分）

設(shè)數(shù)列滿足：．

（1）令，求數(shù)列的通項公式；

（2）求數(shù)列的前項和．

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20．（本小題滿分12分）

如圖所示，已知正四棱柱的底面邊長為1，點在棱上，平面，截面的面積為．

（1）求與底面所成角的大��；

（2）若與的交點為，點在上，且，求的長．

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21．（本小題滿分12分）

如圖所示，已知橢圓的方程為，點的坐標(biāo)滿足．過點的直線橢圓交于、兩點，點為線段的中點．求：

（1）點的軌跡方程；

（2）點的軌跡與坐標(biāo)軸的交點的個數(shù)．

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22．（本小題滿分12分）

試題詳情

已知函數(shù)（為常數(shù)），直線與函數(shù)、的圖象都相切，且與函數(shù)圖象的切點的橫坐標(biāo)為1．

（1）求直線的方程及的值；

（2）若（注：是的導(dǎo)函數(shù)），求的單調(diào)遞增區(qū)間；

（3）當(dāng)時，試討論方程的解的個數(shù)．

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1．A 2．C 3．B 4，C 5．B 6．B 7．C 8．B 9．C 10．B

11．B 12．D

1．，在復(fù)平面對應(yīng)的點在第一象限．

3．當(dāng)時，函數(shù)在上，恒成立即在上恒成立，可得

當(dāng)時，函數(shù)在上，恒成立

即在上恒成立

可得，對于任意恒成立

所以，綜上得．

4．解法一：聯(lián)立，得．

方程總有解，需恒成立

即恒成立，得恒成立

；又

的取值范圍為．

解法二：數(shù)形結(jié)合，因為直線恒過定點（0，1），欲直線與橢圓總有交點，當(dāng)且僅當(dāng)點（0，1）在橢圓上或橢圓內(nèi)，即

又

的取值范圍為．

5．

6．（略）

7．展開式前二項的系數(shù)滿足可解得，或（舍去）．從而可知有理項為．

8．，欲使為奇函數(shù)，須使，觀察可知，、不符合要求，若，則，其在上是減函數(shù)，故B正確

當(dāng)時，，其在上是增函數(shù)，不符合要求．

9．等價于

畫圖可知，故．

10．如圖甲所示．設(shè)，點到直線的距離為

則由拋物線定義得，由點在雙曲線上，及雙曲線第一定義得

，又由雙曲線第二定義得，解之得．

11．由巳知中獎20元的概率；中獎2元的概率，中獎5元的概率，由上面知娛樂中心收費為1560元．付出元，收入元，估計該中心收入480元．

12．設(shè)中點為，連．由已知得平面，作，交的延長線于，蓮．則為所求，設(shè)，則，在

中可求出，則．

二、

13．．提示：可以用換元法，原不等式為也可以用數(shù)形結(jié)合法．

令，在同一坐標(biāo)系內(nèi)分別畫出這兩個函數(shù)的圖象，由圖直觀得解集．

14．12．提示：經(jīng)判斷，為截面圓的直徑，再由巳知可求出球的半徑為．

15．．提示：由于得

解得，又

所以，當(dāng)時，取得最小值．

16．①②④

三、

17．懈：

，由正弦定理得，

又，

，化簡得

為等邊三角形．

說明；本題是向量和三角相結(jié)合的題目，既考查了向量的基本知識，又考查了三角的有關(guān)知識，三角形的形狀既可由角確定。也可由邊確定，因此既可從角入手，把邊化為角；也可從邊入手，把角化為邊來判斷三角形的形狀．

18．解：（1）分別記“客人游覽甲景點”、“客人游覽乙景點”、 “客人游覽丙景點”為事件、、．由已知、、相互獨立，，客人游覽的景點數(shù)的可能取值為0，1，2．3，相應(yīng)地客人沒有游覽的景點的可能取值為3，2，1，0，的取值為1，3，且

的分布列為

0．76

0．24

．

（2）解法一：在上單凋遞增，要使在上單調(diào)遞增，

當(dāng)且僅當(dāng)，即．從而．

解法二：當(dāng)時，在單調(diào)遞增當(dāng)時，在不單調(diào)遞增，．

19．解：（1）因

故是公比為的等比數(shù)列，且

故．

（2）由得

注意到，可得，即

記數(shù)列的前項和為，則

兩式相減得：

故

從而

．

20．解：（1）如圖所示，連接因為平面，平面平面，平面平面所以；又為的中點，故為的中點

底面

為與底面所成的角

在中，

所以與底面所成的角為45°．

（2）解琺一；如圖建立直角坐標(biāo)系

則，

設(shè)點的坐標(biāo)為

故

點的坐標(biāo)為

故．

解法二：平面

，又

平面

在正方形中，

．

21．解：（1）設(shè)點、的坐標(biāo)分別為、點的坐標(biāo)為

當(dāng)時，設(shè)直線的斜率為

直線過點

的方程為

又已知 ①

②

③

④

∴式①一式②得

⑤

③式+④式得

⑥

∴由式⑤、式⑥及

得點的坐標(biāo)滿足方程

⑦

當(dāng)時，不存在，此時平行于軸，因此的中點一定落在軸上，即的坐標(biāo)為,顯然點(，0）滿足方程⑦

綜上所述，點的坐標(biāo)滿足方程

設(shè)方程⑦所表示的曲線為

則由,

得

因為，又已知，

所以當(dāng)時．，曲線與橢圓有且只有一個交點，

當(dāng)時，，曲線與橢圓沒有交點，因為（0，0）在橢圓內(nèi)，又在曲線上，所以曲線在橢圓內(nèi)，故點的軌跡方程為

（2）由解得曲線與軸交于點（0，0），（0，）

由解得曲線與軸交于點（0，0）．（，0）

當(dāng)，即點為原點時，（，0）、（0，）與（0．0）重合，曲線與坐標(biāo)軸只有一個交點（0，0）．

當(dāng)，且，即點不在橢圓外且在除去原點的軸上時，曲線與坐標(biāo)軸有兩個交點（0，）與（0，0），同理，當(dāng)且時，曲線與坐標(biāo)軸有兩個交點（，0）、（0，0）．

當(dāng)，且時，即點不在橢圓外，且不在坐標(biāo)軸上時，曲線與坐標(biāo)軸有三個交點（，0）、（0，）與（0，0）．

22．解：（1）由

故直線的斜率為1．切點為，即（1，0），故的方程為：，

∴直線與的圖象相切．等價于方程組，只有一解，

即方程有兩個相等實根．

．

（2），由

，，當(dāng)時，是增函數(shù)。即

的單調(diào)遞增區(qū)間為（，0）．

（3）由（1）知，，令

由

令，則

當(dāng)變化時，的變化關(guān)系如下表：

（）

ㄊ

極大植ln2

（，0）

ㄋ

極小植

（0，1）

ㄊ

極大值ln2

（1，）

ㄋ

據(jù)此可知，當(dāng)時，方程有三解

當(dāng)，方程有四解

當(dāng)或時，方程有兩解

當(dāng)時，方程無解．

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