2009年福建省廈門(mén)市高三質(zhì)量檢查測(cè)試二

數(shù)學(xué)（理科）試題

本試卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．

滿(mǎn)分為150分，考試時(shí)間120分鐘．

注意事項(xiàng)：

1． 考生將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)及所有答案均填寫(xiě)在答題卡上；

2． 答題要求，見(jiàn)答題卡上的“填涂樣例”和“注意事項(xiàng)”.

參考公式：

如果事件A、B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P（B）

如果事件A、B相互獨(dú)立，那么P（A?B）=P（A）?P（B）

如果事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是P，那么n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率Pn(k)=CnkPk(1－P)n-k

球的表面積公式：S=4πR2，其中R表示球的半徑.

球的體積公式：V=πR3，其中R表示球的半徑.

第I卷（選擇題  共60分）

一、選擇題：本大題共12個(gè)小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1．在等差數(shù)列{an}中，如果a4＋a7＋a10＝15，，，那么k等于（   ）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m  

A．14                          B．15            C．16                 D．17

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2設(shè)a>0，b>0，則以下不等式中不恒成立的是 （   ）

  A．(a＋b)(＋)≥4   B．a(chǎn)3＋b3≥2ab2   C． a2＋b2＋2≥2a＋2b  D．≥－

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3．已知A，B，C，D，E，F，G七個(gè)元素排成一排，要求A排在正中間，且B，C相鄰，則不同的排法有（   ）

A．48種                       B．96種           C．192種              D．240種

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4．設(shè)f(x)是定義在R上單調(diào)遞減的奇函數(shù)．若x1＋x2＞0，x2＋x3＞0，x3＋x1＞0，則（   ）

A．f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＜0                    B．f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＞0

C．f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＝0                    D．f(x1)＋f(x2)＞f(x3)

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5．已知函數(shù)，則使得f（x）≥1的自變量x的取值范圍為（     ）

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A．（－∞，－2][0，10]                            B．（－∞，－2][0，1]

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C．（－∞，－2][1，10]                          D．[－2，0][1，10]

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6．在△ABC中，tanA＝，cosB＝．若最長(zhǎng)邊為1，則最短邊的長(zhǎng)為       （   ）

A．                B．           C．               D．

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7．設(shè) ，那么  的最小值是（   ）

A．2                  B．3              C．4                  D．5

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8．已知拋物線y2＝8x，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是焦點(diǎn)，P是拋物線上的點(diǎn)，使得△POF是直角三角形，則這樣的P點(diǎn)共有                                                （   ）

  A．0個(gè)               B．2個(gè)            C．4個(gè)                D．6個(gè)

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9．某同學(xué)做了10道選擇題，每道題四個(gè)選擇項(xiàng)中有且只有一項(xiàng)是正確的，他每道題都隨意地從中選了一個(gè)答案．記該同學(xué)至少答對(duì)9道題的概率為p，則下列數(shù)據(jù)中與p最接近的是（   ）

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A．　　　　   B．　　　  C．             D．

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*10．6件產(chǎn)品中有4件合格品， 2件次品．為找出2件次品，每次任取一個(gè)檢驗(yàn)，檢驗(yàn)后不再放回，恰好經(jīng)過(guò)4次檢驗(yàn)找出2件次品的概率為（    ）

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A．               B．             C．                D．

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*11．設(shè)四棱錐 的底面不是平行四邊形，用平面  去

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截此四棱錐，使得截面四邊形是平行四邊形，則這樣的平面（    ）

A．不存在   B．只有1個(gè)  C．恰有4個(gè)     D．有無(wú)數(shù)多個(gè)

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*12．設(shè)函數(shù)y=f (x)滿(mǎn)足f (x+1)=f (x)+1，則方程f (x)=x的根的個(gè)數(shù)

是  （   ）

A．無(wú)窮個(gè)           B．沒(méi)有或者有限個(gè) C．有限個(gè)             D．沒(méi)有或者無(wú)窮個(gè)

第Ⅱ卷（非選擇題  共90分）

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二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分．在答題卡上的相應(yīng)題目的答題區(qū)域內(nèi)作答．

13． R) 的最小值是          ．

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*14．設(shè)集合A＝{x|log(3－x)≥－2}，B＝{x|≥1}，若A∩B＝Æ，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______．

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*15．已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)a=                 ．

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*16．函數(shù)f(x)＝xn＋(1－x)n，x∈(0，1)，n∈N*．記y＝f(x)的最小值為an，則a1＋a2＋…＋a6＝___．

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三、解答題：本大題共6小題，共74分，解答題應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟，在答題卡上相應(yīng)題目的答題區(qū)域內(nèi)作答.

17．（12分）已知△ABC中，A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且()2＝?＋?＋?．

（Ⅰ）判斷△ABC的形狀，并求sinA＋sinB的取值范圍；

*（Ⅱ）若不等式a2(b＋c)＋b2(c＋a)＋c2(a＋b)≥kabc，對(duì)任意的滿(mǎn)足題意的a，b，c都成立，求k的取值范圍．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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18．（12分）一個(gè)口袋中裝有個(gè)紅球（且N）和5個(gè)白球，一次摸獎(jiǎng)從中摸兩個(gè)球，兩個(gè)球顏色不同則為中獎(jiǎng)．

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（Ⅰ）試用表示一次摸獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率；

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（Ⅱ）若，求三次摸獎(jiǎng)（每次摸獎(jiǎng)后放回）恰有一次中獎(jiǎng)的概率；

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（Ⅲ) 記三次摸獎(jiǎng)（每次摸獎(jiǎng)后放回）恰有一次中獎(jiǎng)的概率為．當(dāng)取多少時(shí)，最大？

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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19．（12分）定義域均為R的奇函數(shù)f(x)與偶函數(shù)g(x)滿(mǎn)足f(x)＋g(x)＝10x．

（Ⅰ）求函數(shù)f(x)與g(x)的解析式；

（Ⅱ）求函數(shù)f(x)的反函數(shù)；

（Ⅲ）證明：g(x1)＋g(x2)≥2g()；

*（Ⅳ）試用f(x1)，f(x2)，g(x1)，g(x2)表示f(x1－x2)與g(x1＋x2)．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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20．（12分）某工廠有一個(gè)容量為300噸的水塔，每天從早上6時(shí)起到晚上10時(shí)止供應(yīng)該廠的生產(chǎn)和生活用水，已知該廠生活用水為每小時(shí)10噸，工業(yè)用水量W（噸）與時(shí)間t（小時(shí)，且規(guī)定早上6時(shí)t＝0）的函數(shù)關(guān)系為W＝100．水塔的進(jìn)水量分為10級(jí)，第一級(jí)每小時(shí)進(jìn)水10噸，以后每提高一級(jí)，每小時(shí)進(jìn)水量就增加10噸．若某天水塔原有水100噸，在開(kāi)始供水的同時(shí)打開(kāi)進(jìn)水管，問(wèn)進(jìn)水量選擇為第幾級(jí)時(shí)，既能保證該廠的用水（水塔中水不空）又不會(huì)使水溢出?

 

 

 

 

 

 

 

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21．（12分）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A(－，0)，點(diǎn)M在定直線x＝－p（p＞0）上移動(dòng)，點(diǎn)N在線段MO的延長(zhǎng)線上，且滿(mǎn)足＝．

（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)N的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么曲線？

（Ⅱ）若|AN|的最大值≤，求p的取值范圍．

 

 

 

 

 

 

 

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22．（14分）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為a，公差為b；等比數(shù)列的首項(xiàng)為b，公比為a，其中a，，且 

（Ⅰ）求a的值；

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（Ⅱ）若對(duì)于任意N*，總存在N*，使，求b的值；

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（Ⅲ)甲說(shuō)：一定存在使得對(duì)N*恒成立；乙說(shuō)：一定存在使得對(duì)N*恒成立．你認(rèn)為他們的說(shuō)法是否正確？為什么？

 

 

 

 

 

 

 

2009年廈門(mén)市高三質(zhì)量檢查測(cè)試二

試題詳情

一、選擇題：（本大題12個(gè)小題，每小題5分，共60分）

1．B．2．B．3．C．4．A．5．A．6．D．7．C．8．B．9．B．10．C．11．D．12．D．

二、填空題：（本大題4個(gè)小題，每小題4分，共16分）

13．；    14．(－∞，－1]∪[3，＋∞)∪{0}；    15．1，－1，2，－2；     16．

三、解答題：（本大題6個(gè)小題，共74分）

17．（12分）

解：（Ⅰ）∵()2＝?＋?＋?，∴ ()2＝?(＋)＋? ，

 即()2＝?＋?，即?＝0．∴△ABC 是以C為直角頂點(diǎn)的直角三角形．

∴sinA＋sinB＝sinA＋cosA＝sin(A＋)，A∈(0，) ，

∴sinA＋sinB的取值范圍為．

（Ⅱ）在直角△ABC中， a＝csinA，b＝ccosA．

若a2(b＋c)＋b2(c＋a)＋c2(a＋b)≥kabc，對(duì)任意的滿(mǎn)足題意的a、b、c都成立，

則有≥k，對(duì)任意的滿(mǎn)足題意的a、b、c都成立，

∵

＝[c2sin2A(ccosA＋c)＋c2cos2A(csinA＋c)＋c2(csinA＋ccosA)]

＝[ sin2AcosA＋cos2A sinA＋1＋cosA＋sinA]＝cosA＋sinA＋                           

令t＝sinA＋cosA，t∈，

設(shè)f(t)＝＝t＋＝t＋＝t－1＋＋1．

f(t)＝t－1＋＋1，當(dāng)t－1∈時(shí) f(t)為單調(diào)遞減函數(shù)，

∴當(dāng)t＝時(shí)取得最小值，最小值為2＋3，即k≤2＋3．

∴k的取值范圍為（－∞，2＋3]．

命題意圖：本題是平面向量與三角函數(shù)相結(jié)合的問(wèn)題，運(yùn)用平面向量的運(yùn)算的意義轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的邊角關(guān)系，進(jìn)而運(yùn)用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)求值域．第Ⅱ小題將不等式恒成立的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)的最值，其中運(yùn)用了換元法．

18．（12分）

解：（Ⅰ）一次摸獎(jiǎng)從個(gè)球中任選兩個(gè)，有種，它們等可能，其中兩球不同色有種，一次摸獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率．

（Ⅱ）若，一次摸獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率，三次摸獎(jiǎng)是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，三次摸獎(jiǎng)（每次摸獎(jiǎng)后放回）恰有一次中獎(jiǎng)的概率是．

(Ⅲ)設(shè)每次摸獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率為，則三次摸獎(jiǎng)（每次摸獎(jiǎng)后放回）恰有一次中獎(jiǎng)的概率為，，

，知在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)取得最大值．又，解得．

答：當(dāng)時(shí)，三次摸獎(jiǎng)（每次摸獎(jiǎng)后放回）恰有一次中獎(jiǎng)的概率最大．

命題意圖：本題是一個(gè)在等可能性事件基礎(chǔ)上的獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)問(wèn)題，體現(xiàn)了不同概型的綜合．第Ⅲ小題中的函數(shù)是三次函數(shù)，運(yùn)用了導(dǎo)數(shù)求三次函數(shù)的最值．如果學(xué)生直接用代替，函數(shù)將比較煩瑣，這時(shí)需要運(yùn)用換元的方法，將看成一個(gè)整體，再求最值．

19．（12分）

（Ⅰ）解：∵f(x)＋g(x)＝10x ①，∴f(－x)＋g(－x)＝10－x，∵f(x)為奇函數(shù)，g(x)為偶函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，∴－f(x)＋g(x)＝10－x ②，由①，②解得f(x)＝(10x－)，g(x)＝(10x＋)．

（Ⅱ）由y＝(10x－)得，(10x)2－2y×10x－1＝0，解得10x＝y±，

∵10x＞0，∴10x＝y＋，x＝lg(y＋)，∴f(x)的反函數(shù)為f－1(x)＝lg(x＋)．x∈R．

（Ⅲ）解法一：g(x1)＋g(x2)＝(10＋)＋(10＋)＝(10＋10)＋(＋)

≥×2＋×2＝10＋＝2g()．

解法二：[g(x1)＋g(x2)]－2g()＝(10＋)＋(10＋)－(10＋)

＝－＝

＝≥＝0．

（Ⅳ）f(x1－x2)＝f(x1)g(x2)－g(x1)f(x2)，g(x1＋x2)＝g(x1)g(x2)－f(x1)f(x2)．

命題意圖：考查函數(shù)的函數(shù)解析式，奇函數(shù)，單調(diào)性，反函數(shù)等常規(guī)問(wèn)題的處理方法，第（Ⅲ）問(wèn)，第（Ⅳ）問(wèn)把函數(shù)與不等式的證明，函數(shù)與指對(duì)式的化簡(jiǎn)變形結(jié)合起來(lái)，考查學(xué)生綜合應(yīng)用知識(shí)的能力．

20．（12分）

解：設(shè)進(jìn)水量選第x級(jí)，則t小時(shí)后水塔中水的剩余量為：

y＝100＋10xt－10t－100，且0≤t≤16．

根據(jù)題意0＜y≤300，∴0＜100＋10xt－10t－100≤300．?

當(dāng)t＝0時(shí)，結(jié)論成立．

當(dāng)t＞0時(shí)，由左邊得x＞1＋10()

令m=，由0＜t≤16，m ≥，

記f(t)=1＋10（）=1＋10m2－10m3，（m ≥），

則f¢(t)=20m ? 30 m 2 =0得m = 0或m =．

∵當(dāng)≤m ＜時(shí)，f¢(t)＞0；當(dāng)m ＞時(shí)，f¢(t)＜0，

∴所以m =時(shí)(此時(shí)t =)，f(t)最大值=1＋10（）2－10（）3=≈2.48．

當(dāng)t＝時(shí)，1＋10（）有最大值2.48．∴x＞2.48，即x≥3．

由右邊得x≤＋1，

當(dāng)t＝16時(shí)，＋1有最小值＋1=∈(3，4)．即x≤3．

21．（12分）

（Ⅰ）解：設(shè)N(x0，y0)，（x0＞0），則直線ON方程為y＝x，與直線x＝－p交于點(diǎn)M(－p，－)，代入＝得，＝，

或＝．

化簡(jiǎn)得(p2－1)x02＋p2y02＝p2－1．

把x0，y0換成x，y得點(diǎn)N的軌跡方程為(p2－1)x2＋p2y2＝p2－1．(x＞0)

（1）當(dāng)0＜p＜1時(shí)，方程化為x2－＝1表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的右支；

（2）當(dāng)p＝1時(shí)，方程化為y＝0，表示一條射線（不含端點(diǎn)）；

（3）當(dāng)p＞1時(shí)，方程化為x2＋＝1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的右半部分．

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知|AN|＝＝

＝＝x0＋1．

當(dāng)0＜p＜1時(shí)，因x0∈[1，＋∞)，故|AN|無(wú)最大值，不合題意．

當(dāng)p＝1，因x0∈(0，＋∞)，故|AN|無(wú)最大值，不合題意．

當(dāng)p＞1時(shí)，x0∈(0，1]，故當(dāng)x0＝1時(shí)，|AN|有最大值＋1，由題意得＋1≤，

解得p≥2．所以p的取值范圍為[2，＋∞)．

命題意圖：通過(guò)用設(shè)點(diǎn)，代換，化簡(jiǎn)，檢驗(yàn)等步驟求曲線方程，考查解析幾何中已知曲線求方程的能力，并結(jié)合含參數(shù)的方程表示的曲線類(lèi)型的討論考查學(xué)生的分類(lèi)討論思想的應(yīng)用．

22．（14分）

解：（Ⅰ）∵　，a，N*，

∴　　　∴　　　∴　

∴　           ∴　a＝2或a＝3．

∵當(dāng)a＝3時(shí)，由得，即，與矛盾，故a＝3不合題意． 　

∴a＝3舍去，   ∴a＝2．

（Ⅱ），，由可得． 　

∴．∴ 是5的約數(shù)，又，∴　b＝5 ．

(Ⅲ)若甲正確，則存在（）使，即對(duì)N*恒成立，

當(dāng)時(shí)，，無(wú)解，所以甲所說(shuō)不正確．

若乙正確，則存在（）使，即對(duì)N*恒成立，

當(dāng)時(shí)，，只有在時(shí)成立，

而當(dāng)時(shí)不成立，所以乙所說(shuō)也不成立．

命題意圖：本題首先考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本量、通項(xiàng)，結(jié)合含兩個(gè)變量的不等式的處理問(wèn)題，用兩邊夾的方法確定整數(shù)參數(shù)．第Ⅲ小題對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高，要求學(xué)生理解“存在”、“恒成立”，以及運(yùn)用一般與特殊的關(guān)系進(jìn)行否定，本題有一定的探索性．

 

 

 


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