2009年高考數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破之集合思想及應(yīng)用
集合是高中數(shù)學(xué)的基本知識,為歷年必考內(nèi)容之一,主要考查對集合基本概念的認(rèn)識和理解,以及作為工具,考查集合語言和集合思想的運(yùn)用.本節(jié)主要是幫助考生運(yùn)用集合的觀點(diǎn),不斷加深對集合概念、集合語言、集合思想的理解與應(yīng)用.
●難點(diǎn)磁場
(★★★★★)已知集合A={(x,y)|x2+mx-y+2=0},B={(x,y)|x-y+1=0,且0≤x≤2},如果A∩B≠,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
●案例探究
[例1]設(shè)A={(x,y)|y2-x-1=0},B={(x,y)|4x2+2x-2y+5=0},C={(x,y)|y=kx+b},是否存在k、b∈N,使得(A∪B)∩C=,證明此結(jié)論.
命題意圖:本題主要考查考生對集合及其符號的分析轉(zhuǎn)化能力,即能從集合符號上分辨出所考查的知識點(diǎn),進(jìn)而解決問題.屬★★★★★級題目.
知識依托:解決此題的閃光點(diǎn)是將條件(A∪B)∩C=轉(zhuǎn)化為A∩C=且B∩C=,這樣難度就降低了.
錯(cuò)解分析:此題難點(diǎn)在于考生對符號的不理解,對題目所給出的條件不能認(rèn)清其實(shí)質(zhì)內(nèi)涵,因而可能感覺無從下手.
技巧與方法:由集合A與集合B中的方程聯(lián)立構(gòu)成方程組,用判別式對根的情況進(jìn)行限制,可得到b、k的范圍,又因b、k∈N,進(jìn)而可得值.
∴Δ1=(2bk-1)2-4k2(b2-1)<0
∴4k2-4bk+1<0,此不等式有解,其充要條件是16b2-16>0,即b2>1 ①
∴4x2+(2-2k)x+(5+2b)=0
∴k2-2k+8b-19<0,從而8b<20,即b<2.5 ②
由①②及b∈N,得b=2代入由Δ1<0和Δ2<0組成的不等式組,得
∴k=1,故存在自然數(shù)k=1,b=2,使得(A∪B)∩C=.
[例2]向50名學(xué)生調(diào)查對A、B兩事件的態(tài)度,有如下結(jié)果:贊成A的人數(shù)是全體的五分之三,其余的不贊成,贊成B的比贊成A的多3人,其余的不贊成;另外,對A、B都不贊成的學(xué)生數(shù)比對A、B都贊成的學(xué)生數(shù)的三分之一多1人.問對A、B都贊成的學(xué)生和都不贊成的學(xué)生各有多少人?
命題意圖:在集合問題中,有一些常用的方法如數(shù)軸法取交并集,韋恩圖法等,需要考生切實(shí)掌握.本題主要強(qiáng)化學(xué)生的這種能力.屬★★★★級題目.
知識依托:解答本題的閃光點(diǎn)是考生能由題目中的條件,想到用韋恩圖直觀地表示出來.
錯(cuò)解分析:本題難點(diǎn)在于所給的數(shù)量關(guān)系比較錯(cuò)綜復(fù)雜,一時(shí)理不清頭緒,不好找線索.
技巧與方法:畫出韋恩圖,形象地表示出各數(shù)量關(guān)系間的聯(lián)系.
解:贊成A的人數(shù)為50×=30,贊成B的人數(shù)為30+3=33,如上圖,記50名學(xué)生組成的集合為U,贊成事件A的學(xué)生全體為集合A;贊成事件B的學(xué)生全體為集合B.
設(shè)對事件A、B都贊成的學(xué)生人數(shù)為x,則對A、B都不贊成的學(xué)生人數(shù)為+1,贊成A而不贊成B的人數(shù)為30-x,贊成B而不贊成A的人數(shù)為33-x.
依題意(30-x)+(33-x)+x+(+1)=50,解得x=21.
所以對A、B都贊成的同學(xué)有21人,都不贊成的有8人.
●錦囊妙計(jì)
1.解答集合問題,首先要正確理解集合有關(guān)概念,特別是集合中元素的三要素;對于用描述法給出的集合{x|x∈P},要緊緊抓住豎線前面的代表元素x以及它所具有的性質(zhì)P;要重視發(fā)揮圖示法的作用,通過數(shù)形結(jié)合直觀地解決問題.
2.注意空集的特殊性,在解題中,若未能指明集合非空時(shí),要考慮到空集的可能性,如AB,則有A=或A≠兩種可能,此時(shí)應(yīng)分類討論.
●殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練
一、選擇題
二、填空題
3.(★★★★)已知集合A={x∈R|ax2-3x+2=0,a∈R},若A中元素至多有1個(gè),則a的取值范圍是_________.
4.(★★★★)x、y∈R,A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)| =1,a>0,b>0},當(dāng)A∩B只有一個(gè)元素時(shí),a,b的關(guān)系式是_________.
三、解答題
5.(★★★★★)集合A={x|x2-ax+a2-19=0},B={x|log2(x2-5x+8)=1},C={x|x2+2x-8=0},求當(dāng)a取什么實(shí)數(shù)時(shí),A∩B 和A∩C=同時(shí)成立.
6.(★★★★★)已知{an}是等差數(shù)列,d為公差且不為0,a1和d均為實(shí)數(shù),它的前n項(xiàng)和記作Sn,設(shè)集合A={(an,)|n∈N*},B={(x,y)| x2-y2=1,x,y∈R}.
試問下列結(jié)論是否正確,如果正確,請給予證明;如果不正確,請舉例說明.
(1)若以集合A中的元素作為點(diǎn)的坐標(biāo),則這些點(diǎn)都在同一條直線上;
(2)A∩B至多有一個(gè)元素;
8.(★★★★)設(shè)f(x)=x2+px+q,A={x|x=f(x)},B={x|f[f(x)]=x}.
難點(diǎn)磁場
∴方程①在區(qū)間[0,2]上至少有一個(gè)實(shí)數(shù)解.
首先,由Δ=(m-1)2-4≥0,得m≥3或m≤-1,當(dāng)m≥3時(shí),由x1+x2=-(m-1)<0及x1x2=1>0知,方程①只有負(fù)根,不符合要求.
當(dāng)m≤-1時(shí),由x1+x2=-(m-1)>0及x1x2=1>0知,方程①只有正根,且必有一根在區(qū)間(0,1]內(nèi),從而方程①至少有一個(gè)根在區(qū)間[0,2]內(nèi).
故所求m的取值范圍是m≤-1.
殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練
一、1.解析:對M將k分成兩類:k=2n或k=2n+1(n∈Z),M={x|x=nπ+,n∈Z}∪{x|x=
nπ+,n∈Z},對N將k分成四類,k=4n或k=4n+1,k=4n+2,k=4n+3(n∈Z),N={x|x=nπ+,n∈Z}∪{x|x=nπ+,n∈Z}∪{x|x=nπ+π,n∈Z}∪{x|x=nπ+,n∈Z}.
答案:C
答案:D
4.解析:由A∩B只有1個(gè)交點(diǎn)知,圓x2+y2=1與直線=1相切,則1=,即ab=.
三、5.解:log2(x2-5x+8)=1,由此得x2-5x+8=2,∴B={2,3}.由x2+2x-8=0,∴C={2,-4},又A∩C=,∴2和-4都不是關(guān)于x的方程x2-ax+a2-19=0的解,而A∩B ,即A∩B≠,
∴3是關(guān)于x的方程x2-ax+a2-19=0的解,∴可得a=5或a=-2.
當(dāng)a=5時(shí),得A={2,3},∴A∩C={2},這與A∩C=不符合,所以a=5(舍去);當(dāng)a=-2時(shí),可以求得A={3,-5},符合A∩C=,A∩B ,∴a=-2.
6.解:(1)正確.在等差數(shù)列{an}中,Sn=,則(a1+an),這表明點(diǎn)(an,)的坐標(biāo)適合方程y(x+a1),于是點(diǎn)(an, )均在直線y=x+a1上.
(2)正確.設(shè)(x,y)∈A∩B,則(x,y)中的坐標(biāo)x,y應(yīng)是方程組的解,由方程組消去y得:
∴A∩B至多有一個(gè)元素.
(3)不正確.取a1=1,d=1,對一切的x∈N*,有an=a1+(n-1)d=n>0, >0,這時(shí)集合A中的元素作為點(diǎn)的坐標(biāo),其橫、縱坐標(biāo)均為正,另外,由于a1=1≠0.如果A∩B≠,那么據(jù)(2)的結(jié)論,A∩B中至多有一個(gè)元素(x0,y0),而x0=<0,y0=<0,這樣的(x0,y0)A,產(chǎn)生矛盾,故a1=1,d=1時(shí)A∩B=,所以a1≠0時(shí),一定有A∩B≠是不正確的.
∵z∈A,∴|z-2|≤2,代入得|-2|≤2,化簡得|w-(b+i)|≤1.
∴集合A、B在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的集合是兩個(gè)圓面,集合A表示以點(diǎn)(2,0)為圓心,半徑為2的圓面,集合B表示以點(diǎn)(b,1)為圓心,半徑為1的圓面.
8.(1)證明:設(shè)x0是集合A中的任一元素,即有x0∈A.
∵A={x|x=f(x)},∴x0=f(x0).
即有f[f(x0)]=f(x0)=x0,∴x0∈B,故AB.
(2)證明:∵A={-1,3}={x|x2+px+q=x},
∴方程x2+(p-1)x+q=0有兩根-1和3,應(yīng)用韋達(dá)定理,得
∴f(x)=x2-x-3.
于是集合B的元素是方程f[f(x)]=x,也即(x2-x-3)2-(x2-x-3)-3=x(*)的根.
將方程(*)變形,得(x2-x-3)2-x2=0
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