西安中學(xué)

師大附中

高2009屆第二次模擬考試

高新一中

長(zhǎng)安一中

 數(shù)學(xué)試題（理科）

命題人：西安中學(xué)   薛黨鵬

審題人：長(zhǎng)安一中   岳建良

 

 

 

 

 

本試卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.共150分,考試時(shí)間120分鐘.

　                    第I卷 (選擇題，共60分)

一、選擇題：本大題共12小題  每小題5分，共60分  在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的 

1．集合，，則=

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A.     B.　

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C.　　 　D.

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2. 函數(shù)y＝8sin4xcos4x的最小正周期是

A.2π            B.4π                C.                  D.

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3． ＝

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A. i           B.－i               C.                  D.－

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4. 下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是

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A.     B.    

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  C.     D.

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5. 若，則標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體在區(qū)間（―3，3）內(nèi)取值的概率為

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       A．0.9987         B．0.9974               C．0.9944                D．0.8413

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6. 已知是兩條不同直線，是三個(gè)不同平面，下列命題中正確的是

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A．          B． 

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C．          D．

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7.  

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A.            B.2         C.              D.

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8.若雙曲線的離心率為2,則雙曲線的離心率為

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A．        B．           C．2            D．

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9. 設(shè)，則下列不等式中成立的是

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         A．        B． 

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C．    D．

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10．設(shè)為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則的面積與的面積之比為

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A．           B．        C．            D．

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11. 從圓外一點(diǎn)向這個(gè)圓作兩條切線，則兩切線夾角的余弦值為

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A．          B．       C．             D．

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12. 已知為定義在上的可導(dǎo)函數(shù),且對(duì)于恒成立,則

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A. ,    

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 B. ,

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C. ,    

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        D.,

第II卷（共90分）

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二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分  把答案填在題中橫線上 

13.已知正數(shù)、滿足，則的最小值為_(kāi)_______.

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14. 表面積為 的正八面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則此球的體積為        ．

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15. 二項(xiàng)式的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_______.(結(jié)果用數(shù)值作答).

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16. 如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,則稱此函數(shù)為自反函數(shù). 使得函數(shù)為自反函數(shù)的一組實(shí)數(shù)的取值為_(kāi)_______

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    三、解答題：本大題共6小題，共74分  解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟

17．（本題滿分12分）已知函數(shù).

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（Ⅰ）在所給的坐標(biāo)紙上作出函數(shù)的圖象(不要求寫(xiě)出作圖過(guò)程).

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（Ⅱ）令，.求函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

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18. (本題滿分12分) 按照新課程的要求, 高中學(xué)生在每學(xué)期都要至少參加一次社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)(以下簡(jiǎn)稱活動(dòng)). 該校高2010級(jí)一班50名學(xué)生在上學(xué)期參加活動(dòng)的次數(shù)統(tǒng)計(jì)如圖所示．

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（I）求該班學(xué)生參加活動(dòng)的人均次數(shù)；

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（II）從該班中任意選兩名學(xué)生，求他們參加活動(dòng)次數(shù)恰好相等的概率．

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（III）從該班中任選兩名學(xué)生，用表示這兩人參加活動(dòng)次數(shù)之差的絕對(duì)值，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望．

（要求：答案用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示）

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19．（本題滿分12分）如圖所示，在矩形中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，將沿折起到的位置，使二面角是直二面角.

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（Ⅰ）證明：；

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（Ⅱ）求二面角的正切值.

 

 

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21. （本題滿分12分）已知橢圓Γ的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)B恰好是拋物線y=x2的焦點(diǎn)，離心率等于.直線與橢圓Γ交于兩點(diǎn).

（Ⅰ）求橢圓Γ的方程；

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(Ⅱ) 橢圓Γ的右焦點(diǎn)是否可以為的垂心？若可以,求出直線的方程；若不可以,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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21.（本題滿分12分）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?sub>，記函數(shù)的最大值為.

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（Ⅰ）求的解析式;

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（Ⅱ）已知,試求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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22. （本題滿分14分）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足對(duì)一切,有，其中.

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(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;

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(Ⅱ) 求證: 當(dāng)時(shí), .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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高2009屆第一次模擬考試

高新一中

長(zhǎng)安一中

數(shù)學(xué)答題紙（理科）

題號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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二、填空題:(本大題共4小題，每小題4分，共16分)

13.          ,   14.          .  15.          .   16.          .

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三、解答題:(本大題共6小題，共74分)

17.（Ⅰ）

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（Ⅱ）

 

 

 

 

 

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18. （Ⅰ）

 

 

 

 

 

 

 

 

   （Ⅱ）

 

 

 

 

 

試題詳情

19. （Ⅰ）

 

試題詳情

 

（Ⅱ）

  

 

 

 

 

 

 

試題詳情

20. （Ⅰ）

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

    （Ⅱ）

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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21. （I）

 

 

 

 

 

 

 

(II)

 

 

 

 

 

 

 

 

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22. （Ⅰ）

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

（Ⅱ）

 

 

 

 

 

 

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一.選擇題

題號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

C

C

A

A

B

D

A

D

D

A

B

A

二.填空題

   13. .;       14. ;      15. 15;         16. ,可以填寫(xiě)任意實(shí)數(shù)

三、解答題

17．（Ⅰ）

(Ⅱ)

由得,從而,即 .所以,函數(shù)與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.           12分

18.由圖可知，參加活動(dòng)1次、2次和3次的學(xué)生人數(shù)分別為5、25和20．

（I）該班學(xué)生參加活動(dòng)的人均次數(shù)為=．     3分

（II）從該班中任選兩名學(xué)生，他們參加活動(dòng)次數(shù)恰好相等的概率為．                                               6分

（III）從該班中任選兩名學(xué)生，記“這兩人中一人參加1次活動(dòng)，另一人參加2次活動(dòng)”為事件，“這兩人中一人參加2次活動(dòng)，另一人參加3次活動(dòng)”為事件，“這兩人中一人參加1次活動(dòng)，另一人參加3次活動(dòng)”為事件．易知

；                     8分

.                                     10分

的分布列：

0

1

2

的數(shù)學(xué)期望：．                            12分

19．（Ⅰ）∵AD=2AB=2，E是AD的中點(diǎn)，

∴△BAE，△CDE是等腰直角三角形，

易知，∠BEC=90°，即BE⊥EC    

又∵平面D′EC⊥平面BEC，面D′EC∩面BEC=EC，

∴BE⊥面D′EC，又CD′面D′EC，∴BE⊥CD′ 6分

（Ⅱ）法一：設(shè)M是線段EC的中點(diǎn)，過(guò)M作MF⊥BC

垂足為F，連接D′M，D′F，則D′M⊥EC

∵平面D′EC⊥平面BEC，∴D′M⊥平面EBC，

∴MF是D′F在平面BEC上的射影，

由三垂線定理得：D′F⊥BC，∴∠D′FM是二面D′―BC―E的平面角.

在Rt△D′MF中，。∴，

即二面角D′―BC―E的正切值為.                         12分

法二：如圖，以EB，EC為x軸，y軸，過(guò)E垂直于平面BEC的射線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則

設(shè)平面BEC的法向量為；平面D′BC的法向量為

由.取 

∴。 

∴二面角D′―BC―E的的正切值為.

20. (Ⅰ）設(shè)C方程為，則b = 1.

∴橢圓C的方程為  …………………………………………………6分

（Ⅱ）假設(shè)存在直線,使得點(diǎn)是的垂心.易知直線的斜率為，從而直線的斜率為1.設(shè)直線的方程為，代如橢圓的方程，并整理可得.設(shè)，則，.于是

解之得或.

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)即為直線與橢圓的交點(diǎn)，不合題意.當(dāng)時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)知和橢圓相交，符合題意.  所以，當(dāng)且僅當(dāng)直線的方程為時(shí), 點(diǎn)是的垂心.        12分

21. （Ⅰ）注意到當(dāng)時(shí), 直線是拋物線的對(duì)稱軸，分以下幾種情況討論.

(1) 當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)y=, 的圖象是開(kāi)口向上的拋物線的一段，

由<0知在上單調(diào)遞增，∴.

(2)當(dāng)a=0時(shí)，, ,∴.      3分

(3)當(dāng)a<0時(shí),函數(shù)y=, 的圖象是開(kāi)口向下的拋物線的一段，

若，即則                4分

若，即,則       5分

若，即,則.              6分

綜上有                                7分

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，所以， g(a)在上單調(diào)遞增，于是由g(a)的不減性知等價(jià)于或

解之得或.所以，的取值范圍為.               12分

22.(Ⅰ)對(duì)一切有，即  ,      ()                            4分

由及兩式相減,得:

 

       

       ∴是等差數(shù)列,且, .                                    8分

說(shuō)明:本小題也可以運(yùn)用先猜后證(數(shù)學(xué)歸納法)的方法求解.給分時(shí),猜想正確得3分,證明給5分.

(Ⅱ) 由,知,因此,只需證明.                                              10分

當(dāng)或時(shí),結(jié)論顯然成立.當(dāng)時(shí),

   

所以,原不等式成立.                                                          14分

 

 


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