絕密★啟用前

2008年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（湖北卷）

數(shù)     學(xué)（文史類）

本試卷共4頁(yè)，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.

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注間事項(xiàng)：

1.       答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上指定位置

2.       選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)，答在試題卷上無(wú)效.

3.填空題和解答題用0.5毫米的黑色墨水簽字筆答在答題卡上每題對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)，答在試題卷上無(wú)效.

4.考試結(jié)束，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交.

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

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二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分，把答案填在答題卡相應(yīng)位置上.

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三、解答題：本大題共6分小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.

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一、選擇題：本題考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算.第小題5分，滿分50分.

1.C         2.B         3.A         4.D         5.C         6.A         7.A         8.D         9.B         10.B

二、填空題：本題考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算，第小題5分，滿分25分.

11.10                    12.30°（或）                13.2                      14.0.98

15.（3，－2），（x＋2）²＋（y－3）²＝16（或x²＋y²＋4x－6y－3＝0）

 

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.設(shè)

A.            B.               C.               D.

解：，，選C

2. 的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是

  A.210                  B.            C.              D.-105

解：，令得

    所以常數(shù)項(xiàng)為

3.若集合

A. “”是“”的充分條件但不是必要條件

B. “”是“”的必要條件但不是充分條件

C. “”是“”的充要條件

D. “”既不是“”的充分條件也不是“”的必要條件

解：反之不然故選A

4.用與球心距離為1的平面去截面面積為，則球的體積為

  A.                B.             C.          D.

解：截面面積為截面圓半徑為1，又與球心距離為球的半徑是，

所以根據(jù)球的體積公式知，故D為正確答案． 

5.在平面直角坐標(biāo)系中，滿足不等式組的點(diǎn)的集合用陰影表示為下列圖中的

 

 

 

 

 

 

 

解：在坐標(biāo)系里畫出圖象，C為正確答案。也可取點(diǎn)坐標(biāo)檢驗(yàn)判斷。

6.已知在R上是奇函數(shù)，且

   A.              B.                 C.            D.

解：由題設(shè)

7.將函數(shù)的圖象F向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到圖象F′，若F′的一條對(duì)稱軸是直線則的一個(gè)可能取值是

  A.             B.             C.          D. 

解： 平移得到圖象的解析式為,

對(duì)稱軸方程，

把帶入得，令，

8. 函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

      A.                        B.

      C.                            D. 

解：函數(shù)的定義域必須滿足條件：

9.從5名男生和5名女生中選3人組隊(duì)參加某集體項(xiàng)目的比賽，其中至少有一名女生入選的組隊(duì)方案數(shù)為

A.100               B.110                C.120           D.180

解：10人中任選3人的組隊(duì)方案有，沒(méi)有女生的方案有，

所以符合要求的組隊(duì)方案數(shù)為110種。

10.如圖所示，“嫦娥一號(hào)”探月衛(wèi)星沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球，在月球附近一點(diǎn)P變軌進(jìn)入以月球球心F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道I繞月飛行，之后衛(wèi)星在P點(diǎn)第二次變軌進(jìn)入仍以F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道Ⅱ繞月飛行，最終衛(wèi)星在P點(diǎn)第三次變軌進(jìn)入以F為圓形軌道Ⅲ繞月飛行，若用和分別表示橢圓軌道I和Ⅱ的焦距，用和分別表示橢圓軌道I和Ⅱ的長(zhǎng)軸的長(zhǎng)，給出下列式子：

①②③④其中正確式子的序號(hào)是  

   A.①③               B.②③              C.①④           D.②④

解：由焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離可知②正確，由橢圓的離心率知③正確，故應(yīng)選Ｂ．

 

二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分，把答案填在答題卡相應(yīng)位置上.

11.一個(gè)公司共有1 000名員工，下設(shè)一些部門，要采用分層抽樣方法從全體員工中抽取一個(gè)容量為50的樣本，已知某部門有200名員工，那么從該部門抽取的工人數(shù)是         .

解：由分層抽樣方法可知從該部門抽取的工人數(shù)滿足

12.在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對(duì)的邊，已知?jiǎng)tA＝       .

解：由余弦定理可得,

13.方程的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為               .

解：畫出與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，故方程的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為2個(gè)。

14.明天上午李明要參加奧運(yùn)志愿者活動(dòng)，為了準(zhǔn)時(shí)起床，他用甲、乙兩個(gè)鬧鐘叫醒自己，假設(shè)甲鬧鐘準(zhǔn)時(shí)響的概率是0.80，乙鬧鐘準(zhǔn)時(shí)響的概率是0.90，則兩個(gè)鬧鐘至少有一準(zhǔn)時(shí)響的概率是          .

解：兩個(gè)鬧鐘都不準(zhǔn)時(shí)響的概率是，所以至少有一準(zhǔn)時(shí)響的概率是

15.圓的圓心坐標(biāo)為              ， 和圓C關(guān)于直線對(duì)稱的圓C′的普通方程是                    .

解：由題設(shè)，圓心坐標(biāo)；關(guān)于直線對(duì)稱的圓C′圓心為，半徑相等，所以方程是

三、解答題：本大題共6分小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.

 

16.（本小題滿12分）

   已知函數(shù)

  （Ⅰ）將函數(shù)化簡(jiǎn)成的形式，并指出的周期；

  （Ⅱ）求函數(shù)上的最大值和最小值

解：(Ⅰ).

      故的周期為｛k∈Z且k≠0｝.

(Ⅱ)由π≤x≤π，得.因?yàn)?i>f(x)＝在[]上是減函數(shù)，在[]上是增函數(shù).

故當(dāng)x=時(shí)，f(x)有最小值－；而f(π)=－2，f(π)＝－＜－2，

所以當(dāng)x=π時(shí)，f(x)有最大值－2.

 

 

17.（本小題滿分12分）

   已知函數(shù)（m為常數(shù)，且m>0）有極大值9.

  （Ⅰ）求m的值；

  （Ⅱ）若斜率為-5的直線是曲線的切線，求此直線方程.

解：(Ⅰ) f’(x)＝3x²+2mx－m²=(x+m)(3x－m)=0,則x=－m或x=m,

當(dāng)x變化時(shí)，f’(x)與f(x)的變化情況如下表：

 

x

(－∞,－m)

－m

(－m,)

(,+∞)

f’(x)

+

0

－

0

+

f (x)

極大值

極小值

從而可知，當(dāng)x=－m時(shí)，函數(shù)f(x)取得極大值9，

即f(－m)＝－m³+m³+m³+1=9,∴m＝2.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，f(x)=x³+2x²－4x+1,

依題意知f’(x)＝3x²＋4x－4＝－5，∴x＝－1或x＝－.

又f(－1)＝6，f(－)＝，

所以切線方程為y－6＝－5(x＋1),或y－＝－5(x＋)，

即5x＋y－1＝0，或135x＋27y－23＝0.

 

18.（本小題滿分12分）

   如圖，在直三棱柱中，平面?zhèn)让?/p>

  （Ⅰ）求證：

  （Ⅱ）若，直線AC與平面所成的角為，二面角

解：(Ⅰ)證明：如右圖，過(guò)點(diǎn)A在平面A₁ABB₁內(nèi)作AD⊥A₁B于D，則

由平面A₁BC⊥側(cè)面A₁ABB₁,且平面A₁BC∩側(cè)面A₁ABB₁＝A₁B，

得AD⊥平面

A₁BC.又BC平面A₁BC

所以AD⊥BC.

因?yàn)槿�棱�?i>ABC－A₁B₁C₁是直三棱柱,

則AA₁⊥底面ABC,所以AA₁⊥BC.

又AA₁∩AD=A,從而BC⊥側(cè)面A₁ABB₁,

又AB側(cè)面A₁ABB₁，

故AB⊥BC.

   (Ⅱ)證法1：連接CD,則由(Ⅰ)知∠ACD就是直線AC與平面A₁BC所成的角，∠ABA₁就是二面角A₁－BC－A的頰角，即∠ACD＝θ，∠ABA₁=j.

      于是在RtΔADC中，sinθ=,在RtΔADA₁中，sin∠AA₁D＝,

      ∴sinθ=sin∠AA₁D,由于θ與∠AA₁D都是銳角，所以θ＝∠AA₁D.

      又由RtΔA₁AB知，∠AA₁D＋j＝∠AA₁B＋j＝，故θ＋j＝.

 

      證法2：由(Ⅰ)知，以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，以BC、BA、BB₁所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)AB=c（c＜a＝，則B(0,0,0)，A(0,c,0)，C(),

A₁(0,c,a)，于是，＝（0，c,a）,

,=(0,c,a)

設(shè)平面A₁BC的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),

則由

可取n＝（0，－a，c），于是

n?=ac＞0，與n的夾角b為銳角,則b與q互為余角.

sinq=cosb=,

cosj=

所以sinq=cosj=sin(),又0＜q，j＜，所以q+j=.

 

19.（本不題滿分12分）

    如圖，要設(shè)計(jì)一張矩形廣告，該廣告含有大小相等的左右兩個(gè)矩形欄目（即圖中陰影部分），這兩欄的面積之和為18000cm^2,四周空白的寬度為10cm，兩欄之間的中縫空白的寬度為5cm，怎樣確定廣告的高與寬的尺寸（單位：cm），能使矩形廣告面積最��？

解：

解法1：設(shè)矩形欄目的高為a cm，寬為b cm，則ab=9000.   ①

廣告的高為a+20，寬為2b+25，其中a＞0，b＞0.

廣告的面積S＝(a+20)(2b+25)

＝2ab+40b+25a+500＝18500+25a+40b

≥18500+2=18500+

當(dāng)且僅當(dāng)25a＝40b時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)b=,代入①式得a=120，從而b=75.

即當(dāng)a=120，b=75時(shí),S取得最小值24500.

故廣告的高為140 cm,寬為175 cm時(shí)，可使廣告的面積最小.

解法2：設(shè)廣告的高為寬分別為x cm，y cm，則每欄的高和寬分別為x－20，其中x＞20，y＞25

兩欄面積之和為2(x－20),由此得y=

廣告的面積S=xy=x()＝x,

整理得S=

因?yàn)?i>x－20＞0，所以S≥2

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，

此時(shí)有(x－20)²＝14400(x＞20)，解得x=140，代入y=+25,得y＝175，

即當(dāng)x=140，y＝175時(shí)，S取得最小值24500，

故當(dāng)廣告的高為140 cm，寬為175 cm時(shí)，可使廣告的面積最小.

 

20（本小題滿分13分）

   已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為

   的曲線C上.

  （Ⅰ）求雙曲線C的方程；

  （Ⅱ）記O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q (0,2)的直線l與雙曲線C相交于不同的兩點(diǎn)E、F，若△OEF的面積為求直線l的方程

解：(Ⅰ)解法1：依題意，由a²+b²=4，得雙曲線方程為（0＜a²＜4），

將點(diǎn)（3，）代入上式，得.解得a²=18（舍去）或a²＝2，

故所求雙曲線方程為

解法2：依題意得，雙曲線的半焦距c=2.

2a=|PF₁|－|PF₂|=

∴a²=2，b²=c²－a²=2.

∴雙曲線C的方程為

(Ⅱ)解法1：依題意，可設(shè)直線l的方程為y=kx+2，代入雙曲線C的方程并整理，

得(1－k²)x²－4kx－6=0.

∵直線I與雙曲線C相交于不同的兩點(diǎn)E、F,

∴

∴k∈(－)∪(1,).

設(shè)E(x₁,y₁),F(x₂,y₂)，則由①式得x₁+x₂=于是

|EF|=

=

而原點(diǎn)O到直線l的距離d＝,

∴S_ΔOEF=

若S_ΔOEF＝，即解得k=±,

滿足②.故滿足條件的直線l有兩條，其方程分別為y=和

解法2：依題意，可設(shè)直線l的方程為y=kx+2,代入雙曲線C的方程并整理，

得(1－k²)x²－4kx－6＝0.                                                          ①

∵直線l與比曲線C相交于不同的兩點(diǎn)E、F，

∴

∴k∈(－)∪(1,).                                                     ②

設(shè)E(x₁,y₁),F(x₂,y₂)，則由①式得

|x₁－x₂|＝.      ③

當(dāng)E、F在同一支上時(shí)（如圖1所示），

S_ΔOEF＝|S_ΔOQF－S_ΔOQE|=；

當(dāng)E、F在不同支上時(shí)（如圖2所示），

S_ΔOEF＝S_ΔOQF＋S_ΔOQE＝

綜上得S_ΔOEF＝，于是

由|OQ|＝2及③式，得S_ΔOEF＝.

若S_ΔOEF＝2，即,解得k=±,滿足②.

故滿足條件的直線l有兩條，方程分別為y=和y=

 

21.（本小題滿分14分）

    已知數(shù)列,其中為實(shí)數(shù)，為正整數(shù).

    （Ⅰ）證明：當(dāng)

（Ⅱ）設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，是否存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意正整數(shù)n，都有     若存在，求的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由.

解： (Ⅰ)證明：假設(shè)存在一個(gè)實(shí)數(shù)l，使｛a_n｝是等比數(shù)列，則有,即

（）²=²矛盾.

所以｛a_n｝不是等比數(shù)列.

（Ⅱ）證明：∵

                 

                                                                   

又由上式知

故當(dāng)數(shù)列｛b_n｝是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.

（Ⅲ）當(dāng)由（Ⅱ）得于是

      

         當(dāng)時(shí)，，從而上式仍成立.

         要使對(duì)任意正整數(shù)n , 都有

          即

          令

          當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)，

          

           于是可得

           綜上所述，存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意正整數(shù)，都有

          的取值范圍為