2009年廣州市高三年級調(diào)研測試

數(shù) 學(xué)（文 科）

               2009.1

本試卷共4頁，21小題，滿分150分．考試用時120分鐘．

注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號、試室號、座位號填寫在答題卡上．用2B鉛筆將試卷類型填涂在答題卡相應(yīng)位置上．

2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．答案不能答在試卷上．

3．非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須填寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液．不按以上要求作答的答案無效．

4．作答選做題時，請先用2B鉛筆填涂選做題的題號（或題組號）對應(yīng)的信息點，再作答．漏涂、錯涂、多涂的，答案無效．

5．考生必須保持答題卡的整潔．考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回．

參考公式：如果事件互斥，那么．

一．選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1．已知i為虛數(shù)單位，則（i）（ i）=

A．0             B．1                C．2             D．2i

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2．在等比數(shù)列｛an｝中，已知 ，則

A．16            B．16或－16        C．32             D．32或－32   

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3．已知向量a =（x，1），b =（3，6），ab ，則實數(shù)的值為

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A．            B．             C．             D．

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4．經(jīng)過圓的圓心且斜率為1的直線方程為       

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A．             B．   

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C.               D．

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5．已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則

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A．                       B．        

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C．                     D．

 

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6. 圖1是某賽季甲、乙兩名籃球運動員每場比賽得分的莖葉圖，

則甲、乙兩人這幾場比賽得分的中位數(shù)之和是

A．62                       B．63

C．64                       D．65                                                    

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7. 已知，則

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A．         B．      C．          D．                                                            

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8. 命題“”的否命題是

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A.       B.若，則

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C.       D.

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9．圖2為一個幾何體的三視圖，正視圖和側(cè)視圖均為矩形，俯視 

圖為正三角形，尺寸如圖，則該幾何體的側(cè)面積為

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A．6                        B． 24

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C．12                    D．32                         

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10. 已知拋物線的方程為，過點和點的直

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線與拋物線沒有公共點,則實數(shù)的取值范圍是 

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    A.           B.     

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C.      D.    

 

（一）必做題（11～13題）

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二、填空題: 本大題共5小題，考生作答4小題，每小題5分，滿分20分．  

11. 函數(shù)的定義域為              .

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12．如圖3所示的算法流程圖中，輸出S的值為           .                      圖3

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13．已知實數(shù)滿足則的最大值為_______．             

（二）選做題（14～15題，考生只能從中選做一題）

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14.(坐標系與參數(shù)方程選講選做題)在直角坐標系中圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點為極點，以軸正半軸為極軸建立極坐標系，則圓的圓心極坐標為_________．

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15．（幾何證明選講選做題）如圖4，是圓外一點，過引圓的兩條割線、，

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，，則____________．                                                                        

證明過程或演算步驟.

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                                                                      三、解答題: 本大題共6小題，共80分．解答應(yīng)寫出文字說明，

16．(本小題滿分12分)

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 已知R.

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（1）求函數(shù)的最小正周期;

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（2）求函數(shù)的最大值，并指出此時的值．

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17. (本小題滿分12分)

某校高三文科分為四個班.高三數(shù)學(xué)調(diào)研測試后, 隨機地

在各班抽取部分學(xué)生進行測試成績統(tǒng)計,各班被抽取的學(xué)

生人數(shù)恰好成等差數(shù)列,人數(shù)最少的班被抽取了22人.

抽取出來的所有學(xué)生的測試成績統(tǒng)計結(jié)果的頻率分布條形

圖如圖5所示,其中120～130(包括120分但不包括130分)

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的頻率為0.05,此分數(shù)段的人數(shù)為5人.                     0

        (1) 問各班被抽取的學(xué)生人數(shù)各為多少人?

   (2) 在抽取的所有學(xué)生中,任取一名學(xué)生, 求分數(shù)不小于90分的概率.           圖5

 

 

                                                             

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18．(本小題滿分14分)

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如圖6，已知四棱錐中，⊥平面，

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 是直角梯形，，90º，．

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（1）求證：⊥；

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（2）在線段上是否存在一點，使//平面，

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   若存在，指出點的位置并加以證明；若不存在，請說明理由.

                                                             

 

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19. (本小題滿分14分)

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設(shè)橢圓的離心率為=,點是橢圓上的一點,且點到橢圓兩

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焦點的距離之和為4.

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(1)求橢圓的方程；

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（2）橢圓上一動點關(guān)于直線的對稱點為,求的取值范圍.

 

 

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20．（本小題滿分14分）

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設(shè)數(shù)列的前項和為，且 . 

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（1）求數(shù)列的通項公式；

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（2）設(shè)，數(shù)列的前項和為，求證：.

 

 

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21. （本題滿分14分）

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已知函數(shù) (R)．

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(1)  當(dāng)時，求函數(shù)的極值；

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（2）若函數(shù)的圖象與軸有且只有一個交點，求a的取值范圍．

 

 

2009年廣州市高三年級調(diào)研測試

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說明：1．參考答案與評分標準指出了每道題要考查的主要知識和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與參考答案不同，可根據(jù)試題主要考查的知識點和能力比照評分標準給以相應(yīng)的分數(shù)．

      2．對解答題中的計算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的得分，但所給分數(shù)不得超過該部分正確解答應(yīng)得分數(shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分．

      3．解答右端所注分數(shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分數(shù)．

4．只給整數(shù)分數(shù)，選擇題和填空題不給中間分．

 

一、選擇題：本大題主要考查基本知識和基本運算．共10小題，每小題5分，滿分50分．

   

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

C

A

B

A

B

C

D

C

B

D

 

二、填空題：本大題主要考查基本知識和基本運算．本大題共5小題，考生作答4小題，每小題5分，滿分20分．其中14～15題是選做題，考生只能選做一題．

11．      12．    13．     14．    15．2

說明：第14題答案可以有多種形式，如可答或Z）等, 均給滿分.

三、解答題：本大題共6小題，滿分80分.解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟.

 

16．(本小題滿分12分)           

解：（1）∵

                                        …… 2分

                                   …… 4分       

             .                                  …… 6分

∴.                                             …… 8分

(2) 當(dāng)時, 取得最大值, 其值為2 .               ……10分

此時，即Z.                 ……12分

 

17. (本小題滿分12分)

解:(1) 由頻率分布條形圖知,抽取的學(xué)生總數(shù)為人.         ……4分   

∵各班被抽取的學(xué)生人數(shù)成等差數(shù)列,設(shè)其公差為,

由=100,解得.

∴各班被抽取的學(xué)生人數(shù)分別是22人，24人，26人，28人.     ……8分

(2) 在抽取的學(xué)生中,任取一名學(xué)生, 則分數(shù)不小于90分的概率為0.35+0.25+0.1+0.05=0.75.

……12分

18．(本小題滿分14分)

解：（1）∵ ⊥平面，平面，     

∴ ⊥.                                                …… 2分   

∵ ⊥，，

∴ ⊥平面，                                         …… 4分

∵ 平面，

∴ ⊥.                                                …… 6分

（2）法1: 取線段的中點，的中點，連結(jié),

則是△中位線.

∴∥，，               ……8分

∵ ，，

∴.

∴ 四邊形是平行四邊形，            ……10分

∴ .

∵ 平面，平面，

∴ ∥平面.                                          ……12分   

∴ 線段的中點是符合題意要求的點．                      ……14分

 法2: 取線段的中點，的中點，連結(jié),

則是△的中位線.

∴∥，，                 

∵平面, 平面,

∴平面.                         …… 8分

∵ ，，

∴.

∴ 四邊形是平行四邊形，             

∴ .

∵ 平面，平面，

∴ ∥平面.                                        ……10分

∵,

∴平面平面.

∵平面,

∴∥平面.                                          ……12分

∴ 線段的中點是符合題意要求的點．                     ……14分

19. (本小題滿分14分)

解:(1)依題意知,                                      …… 2分           

    ∵,

∴.                                     …… 4分

∴所求橢圓的方程為.                               …… 6分

（2）∵ 點關(guān)于直線的對稱點為，

∴                                        …… 8分

解得：，.                            …… 10分

 

∴.                                              …… 12分

∵ 點在橢圓:上,

∴, 則.

∴的取值范圍為.                                ……14分

20. (本小題滿分14分)

(1) 解：當(dāng)時，.　                                       ……1分

　  當(dāng)時，

.                                        ……3分

∵不適合上式,

∴　　                                     ……4分

（2）證明: ∵.

當(dāng)時，                                         ……6分

當(dāng)時，,　　　       ①

.　 �、�

①－②得:

　 　             

得，                             ……8分

此式當(dāng)時也適合.

∴N.　　                               

　         　∵，

∴.                                              ……10分

當(dāng)時，，

∴.                                     ……12分

∵，

∴.　                                   

故，即.

綜上，．                              ……14分

 

21. (本小題滿分14分)

解：（1）當(dāng)時，，

∴.                     

       令=0, 得 .                                    …… 2分                   

當(dāng)時,, 則在上單調(diào)遞增;

當(dāng)時,, 則在上單調(diào)遞減;

當(dāng)時,, 在上單調(diào)遞增.                    …… 4分   

∴ 當(dāng)時, 取得極大值為;

當(dāng)時, 取得極小值為.        …… 6分

（2） ∵ = ，

∴△= =  .                             

① 若a≥1，則△≤0，                                           …… 7分

∴≥0在R上恒成立，

∴ f（x）在R上單調(diào)遞增 .                                                    

∵f（0），,                  

∴當(dāng)a≥1時，函數(shù)f（x）的圖象與x軸有且只有一個交點．        …… 9分 

② 若a＜1，則△＞0，

∴= 0有兩個不相等的實數(shù)根，不妨設(shè)為x1，x2，（x1<x2）．

∴x1+x2 = 2，x1x2 = a．  

當(dāng)變化時，的取值情況如下表：                        

x

x1

（x1，x2）

x2

+

0

－

0

+

f（x）

ㄊ

極大值

 

ㄋ

極小值

 

ㄊ

                                       …… 11分

∵,

∴.

∴

       

       

        .

同理.

∴

.

          令f（x1）?f（x2）＞0,  解得a＞．                                    

          而當(dāng)時,,

          故當(dāng)時, 函數(shù)f（x）的圖象與x軸有且只有一個交點.         …… 13分                             

綜上所述，a的取值范圍是．                                …… 14分

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


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