C．12 D．32 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

在長為12 cm的線段AB上任取一點(diǎn)C.現(xiàn)作一矩形，鄰邊長分別等于線段AC，CB的長，則該矩形面積小于32 cm2的概率為(　　)．

A. B. C. D.

 

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已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)過點(diǎn)(1，
3
2
)，且離心率e=
1
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若直線l：y=kx+m與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)（A，B不是左右頂點(diǎn)），橢圓的右頂點(diǎn)為D，且滿足
DA
•
DB
=0，試判斷直線l是否過定點(diǎn)，若過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由．

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已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)y在軸上，焦距為2
3
，且過點(diǎn)M(-
13
4
，
3
2
)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若過點(diǎn)N(
1
2
，1)的直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，且N恰好為AB中點(diǎn)，能否在橢圓C上找到點(diǎn)D，使△ABD的面積最大？若能，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說明理由．

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已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
1
2
，Q(1，
3
2
)在橢圓C上，A，B為橢圓C的左、右頂點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程：
（2）若P是橢圓上異于A，B的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AP，PB并延長，分別與右準(zhǔn)線l相交于M1，M2．問是否存在x軸上定點(diǎn)D，使得以M1M2為直徑的圓恒過點(diǎn)D？若存在，求點(diǎn)D的坐標(biāo)：若不存在，說明理由．

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已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)過點(diǎn)(
3
，
3
2
)，離心率e=
1
2
，若點(diǎn)M（x0，y0）在橢圓C上，則點(diǎn)N(
x0
a
，
y0
b
)稱為點(diǎn)M的一個(gè)“橢點(diǎn)”，直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，若點(diǎn)A、B的“橢點(diǎn)”分別是P、Q，且以PQ為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若橢圓C的右頂點(diǎn)為D，上頂點(diǎn)為E，試探究△OAB的面積與△ODE的面積的大小關(guān)系，并證明．

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說明：1．參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)指出了每道題要考查的主要知識(shí)和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與參考答案不同，可根據(jù)試題主要考查的知識(shí)點(diǎn)和能力比照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)給以相應(yīng)的分?jǐn)?shù)．

      2．對(duì)解答題中的計(jì)算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，如果后繼部分的解答未改變?cè)擃}的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的得分，但所給分?jǐn)?shù)不得超過該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再給分．

      3．解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)．

4．只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，選擇題和填空題不給中間分．

 

一、選擇題：本大題主要考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算．共10小題，每小題5分，滿分50分．

   

題號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

C

A

B

A

B

C

D

C

B

D

 

二、填空題：本大題主要考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算．本大題共5小題，考生作答4小題，每小題5分，滿分20分．其中14～15題是選做題，考生只能選做一題．

11．      12．    13．     14．    15．2

說明：第14題答案可以有多種形式，如可答或Z）等, 均給滿分.

三、解答題：本大題共6小題，滿分80分.解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟.

 

16．(本小題滿分12分)           

解：（1）∵

                                        …… 2分

                                   …… 4分       

             .                                  …… 6分

∴.                                             …… 8分

(2) 當(dāng)時(shí), 取得最大值, 其值為2 .               ……10分

此時(shí)，即Z.                 ……12分

 

17. (本小題滿分12分)

解:(1) 由頻率分布條形圖知,抽取的學(xué)生總數(shù)為人.         ……4分   

∵各班被抽取的學(xué)生人數(shù)成等差數(shù)列,設(shè)其公差為,

由=100,解得.

∴各班被抽取的學(xué)生人數(shù)分別是22人，24人，26人，28人.     ……8分

(2) 在抽取的學(xué)生中,任取一名學(xué)生, 則分?jǐn)?shù)不小于90分的概率為0.35+0.25+0.1+0.05=0.75.

……12分

18．(本小題滿分14分)

解：（1）∵ ⊥平面，平面，     

∴ ⊥.                                                …… 2分   

∵ ⊥，，

∴ ⊥平面，                                         …… 4分

∵ 平面，

∴ ⊥.                                                …… 6分

（2）法1: 取線段的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連結(jié),

則是△中位線.

∴∥，，               ……8分

∵ ，，

∴.

∴ 四邊形是平行四邊形，            ……10分

∴ .

∵ 平面，平面，

∴ ∥平面.                                          ……12分   

∴ 線段的中點(diǎn)是符合題意要求的點(diǎn)．                      ……14分

 法2: 取線段的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連結(jié),

則是△的中位線.

∴∥，，                 

∵平面, 平面,

∴平面.                         …… 8分

∵ ，，

∴.

∴ 四邊形是平行四邊形，             

∴ .

∵ 平面，平面，

∴ ∥平面.                                        ……10分

∵,

∴平面平面.

∵平面,

∴∥平面.                                          ……12分

∴ 線段的中點(diǎn)是符合題意要求的點(diǎn)．                     ……14分

19. (本小題滿分14分)

解:(1)依題意知,                                      …… 2分           

    ∵,

∴.                                     …… 4分

∴所求橢圓的方程為.                               …… 6分

（2）∵ 點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，

∴                                        …… 8分

解得：，.                            …… 10分

 

∴.                                              …… 12分

∵ 點(diǎn)在橢圓:上,

∴, 則.

∴的取值范圍為.                                ……14分

20. (本小題滿分14分)

(1) 解：當(dāng)時(shí)，.　                                       ……1分

　  當(dāng)時(shí)，

.                                        ……3分

∵不適合上式,

∴　　                                     ……4分

（2）證明: ∵.

當(dāng)時(shí)，                                         ……6分

當(dāng)時(shí)，,　　　       ①

.　 �、�

①－②得:

　 　             

得，                             ……8分

此式當(dāng)時(shí)也適合.

∴N.　　                               

　         　∵，

∴.                                              ……10分

當(dāng)時(shí)，，

∴.                                     ……12分

∵，

∴.　                                   

故，即.

綜上，．                              ……14分

 

21. (本小題滿分14分)

解：（1）當(dāng)時(shí)，，

∴.                     

       令=0, 得 .                                    …… 2分                   

當(dāng)時(shí),, 則在上單調(diào)遞增;

當(dāng)時(shí),, 則在上單調(diào)遞減;

當(dāng)時(shí),, 在上單調(diào)遞增.                    …… 4分   

∴ 當(dāng)時(shí), 取得極大值為;

當(dāng)時(shí), 取得極小值為.        …… 6分

（2） ∵ = ，

∴△= =  .                             

① 若a≥1，則△≤0，                                           …… 7分

∴≥0在R上恒成立，

∴ f（x）在R上單調(diào)遞增 .                                                    

∵f（0），,                  

∴當(dāng)a≥1時(shí)，函數(shù)f（x）的圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)．        …… 9分 

② 若a＜1，則△＞0，

∴= 0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，不妨設(shè)為x1，x2，（x1<x2）．

∴x1+x2 = 2，x1x2 = a．  

當(dāng)變化時(shí)，的取值情況如下表：                        

x

x1

（x1，x2）

x2

+

0

－

0

+

f（x）

ㄊ

極大值

 

ㄋ

極小值

 

ㄊ

                                       …… 11分

∵,

∴.

∴

       

       

        .

同理.

∴

.

          令f（x1）?f（x2）＞0,  解得a＞．                                    

          而當(dāng)時(shí),,

          故當(dāng)時(shí), 函數(shù)f（x）的圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn).         …… 13分                             

綜上所述，a的取值范圍是．                                …… 14分

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


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