2009年廣州市高三年級(jí)調(diào)研測(cè)試

數(shù) 學(xué)（理 科）

2009.1

本試卷共4頁，21小題，滿分150分．考試用時(shí)120分鐘．

注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號(hào)、試室號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上．用2B鉛筆將試卷類型填涂在答題卡相應(yīng)位置上．

2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．答案不能答在試卷上．

3．非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須填寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液．不按以上要求作答的答案無效．

4．作答選做題時(shí)，請(qǐng)先用2B鉛筆填涂選做題的題號(hào)（或題組號(hào)）對(duì)應(yīng)的信息點(diǎn)，再作答．漏涂、錯(cuò)涂、多涂的，答案無效．

5．考生必須保持答題卡的整潔．考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回．

 

參考公式：如果事件互斥，那么．

 

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．

1．已知i為虛數(shù)單位，則（i）（ i）=

A．0                B．1                C．2              D．2i

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2．在等比數(shù)列｛an｝中，已知 ，則

A．16               B．16或－16         C．32             D．32或－32   

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3．已知向量a =（x，1），b =（3，6），ab ，則實(shí)數(shù)的值為

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A．               B．              C．             D．

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4．經(jīng)過圓的圓心且斜率為1的直線方程為       

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A．      B．      C.      D．

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5. 圖1是某賽季甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員每場(chǎng)比賽得分的莖葉圖，

則甲、乙兩人這幾場(chǎng)比賽得分的中位數(shù)之和是

A．65                       B．64

C．63                       D．62                                                                                                                     

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6. 命題“”的否命題是                                             

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A.      B.                          

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C.      D.

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7．圖2為一個(gè)幾何體的三視圖，側(cè)視圖和正視圖均為矩形，俯視圖為正三

角形，尺寸如圖，則該幾何體的側(cè)面積為

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A．6                         B．12

C．24                        D．32

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8. 已知拋物線的方程為，過點(diǎn)和點(diǎn)的直

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線與拋物線沒有公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是                       

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   A.             B.

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C.       D.    

 

(一)必做題（9~ 12題）

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二、填空題: 本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分．

9. 函數(shù)的定義域?yàn)?u>               .  

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10. 在的二項(xiàng)展開式中，x3的系數(shù)是_______________．（用數(shù)字作答）

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11.在如圖3所示的算法流程圖中，輸出S的值為            . 

 

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12. 已知變量滿足約束條件若目標(biāo)函數(shù)僅在點(diǎn)

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處取得最小值, 則實(shí)數(shù)的取值范圍為              .

                                                                                     圖3

 

(二) 選做題（13 ~ 15題，考生只能從中選做兩題）

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13．（不等式選講選做題）不等式的解集是______________．

 

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14．(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選講選做題)在直角坐標(biāo)系中圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)），

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以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則圓的圓心極坐標(biāo)為_________ ．

 

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15．（幾何證明選講選做題）如圖4，是圓外一點(diǎn)，

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過引圓的兩條割線PAB、PCD，PA = AB =，

CD = 3，則PC =____________．

 

 

 

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三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明，證明過程或演算步驟．

16. (本小題滿分12分)

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已知R.

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（1）求函數(shù)的最小正周期;

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（2）求函數(shù)的最大值，并指出此時(shí)的值．

 

 

 

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17．（本小題滿分12分）

一廠家向用戶提供的一箱產(chǎn)品共10件，其中有2件次品，用戶先對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行抽檢以決定是否接收．

抽檢規(guī)則是這樣的：一次取一件產(chǎn)品檢查（取出的產(chǎn)品不放回箱子），若前三次沒有抽查到次品，

則用戶接收這箱產(chǎn)品；若前三次中一抽查到次品就立即停止抽檢，并且用戶拒絕接收這箱產(chǎn)品.

（1）求這箱產(chǎn)品被用戶接收的概率；

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（2）記抽檢的產(chǎn)品件數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．

 

 

 

 

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18．（本小題滿分14分）

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如圖5，已知等腰直角三角形，其中∠=90º，．

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點(diǎn)A、D分別是、的中點(diǎn)，現(xiàn)將△沿著邊折起到△位置，

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使⊥，連結(jié)、．

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（1）求證：⊥；

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（2）求二面角的平面角的余弦值．

 

 

 

 

 

 

 

 

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19. (本小題滿分14分)

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設(shè)橢圓的離心率為=,點(diǎn)是橢圓上的一點(diǎn),且點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的

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距離之和為4.

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(1)求橢圓的方程；

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（2）橢圓上一動(dòng)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為,求的取值范圍.

 

 

 

 

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20.（本小題滿分14分）

<fieldset id="9hqb4"><dl id="9hqb4"><li id="9hqb4"></li></dl></fieldset>

 

  
  
        
   
        
    
    
        
    
                             1
                          2     3
                             4     5     6  7       
    
         8     9
     10  11  12  13  14   15
                            …………………………
                          
    圖6
         
        

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               設(shè)（i、j∈N*）是位于這個(gè)數(shù)表中從上往下數(shù)第i行、
        

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        從左往右數(shù)第j個(gè)數(shù). 數(shù)表中第行共有個(gè)正整數(shù).
        

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        （1）若＝2010，求i、j的值；
        

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        （2）記N*), 
        

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        試比較與的大小, 并說明理由.
         
         
         
         
        

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        21. （本小題滿分14分）
        

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        已知函數(shù) (R)．
        

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        (1)  當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；
        

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        （2）若函數(shù)的圖象與軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍．
         
         
         
         
         
         
         
        2009年廣州市高三年級(jí)調(diào)研測(cè)試
        

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        說明：1．參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)指出了每道題要考查的主要知識(shí)和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與參考答案不同，可根據(jù)試題主要考查的知識(shí)點(diǎn)和能力比照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)給以相應(yīng)的分?jǐn)?shù)．
              2．對(duì)解答題中的計(jì)算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，如果后繼部分的解答未改變?cè)擃}的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的得分，但所給分?jǐn)?shù)不得超過該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再給分．
              3．解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)．
        4．只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，選擇題和填空題不給中間分．
        一、選擇題：本大題主要考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算．共10小題，每小題5分，滿分50分． 
            
        題號(hào)
        1
        2
        3
        4
        5
        6
        7
        8
        答案
        C
        A
        B
        A
        B
        C
        C
        D
         
        二、填空題：本大題主要考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算．本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分．其中14～15題是選做題，考生只能選做一題．
        9．    10．        11．         12.  
        13.           14．     15．2
        說明：第14題答案可以有多種形式，如可答或Z等, 均給滿分.
        三、解答題：本大題共6小題，滿分80分.解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟.
        16．(本小題滿分12分)          

        解：（1）∵
                    
                                       …… 2分
                                                       …… 4分        
                    
.                               
              …… 6分
        ∴.            
                                          …… 8分
        (2) 當(dāng)時(shí), 取得最大值, 其值為2 .            
         ……10分
        此時(shí)，即Z.              
         ……12分
         
        17．(本小題滿分12分)
        解：（1）設(shè)“這箱產(chǎn)品被用戶接收”為事件，.             ……3分
        即這箱產(chǎn)品被用戶接收的概率為．               
                  ……4分
        （2）的可能取值為1，2，3．                              
             ……5分
        =，                                  
              
        =，                              
              
        =，                             
              ……8分
        ∴的概率分布列為：
        1
        2
        3
                        
  ……10分
        ∴=．      
                      ……12分
         
        18．(本小題滿分14分)
        解：（1）∵點(diǎn)A、D分別是、的中點(diǎn)，
        ∴.        
                               …… 2分           
       
        ∴∠=90º.
        ∴.
        ∴ ,          
                                         
        ∵,
        ∴⊥平面.                                               …… 4分
        ∵平面,
        ∴.          
                                         …… 6分
        （2）法1：取的中點(diǎn)，連結(jié)、． 
        ∵,
        ∴.        
                             
        ∵,
        ∴平面.
        ∵平面,
        ∴.                   
…… 8分   
        ∵
        ∴平面.
        ∵平面,
        ∴.
        ∴∠是二面角的平面角.                              ……10分
        在Rt△中, ，
        在Rt△中, ，
        .                                       ……12分
        ∴ 二面角的平面角的余弦值是.                         ……14分
         
        法2：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
        則（－1，0，0），（－2，1，0），（0，0，1）.
        ∴=（－1，1，0），=（1，0，1）,      
……8分
        設(shè)平面的法向量為=（x，y，z），則：
        ，                     
……10分
        令，得，
        ∴=（1，1，－1）.
        顯然，是平面的一個(gè)法向量，=（）．              
……12分
        ∴cos<，>=．  
        ∴二面角的平面角的余弦值是.                         ……14分
         
         
         
         
        19. (本小題滿分14分)
        解:(1)依題意知,                                            …… 2分           

              ∵,
        ∴.                                       
…… 4分
        ∴所求橢圓的方程為.                       
            …… 6分
        （2）∵ 點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，
        ∴                                            ……8分
        解得：，.          
                      ……10分
         
        ∴.                                        
       ……12分
        ∵
點(diǎn)在橢圓:上,
        ∴, 則.
        ∴的取值范圍為.                           
      ……14分
        20.（本小題滿分14分）
        解：（1）數(shù)表中前行共有個(gè)數(shù)，
        即第i行的第一個(gè)數(shù)是，                                  
    …… 2分
                 ∴＝．
        ∵，＝2010，
        ∴ i＝11．                                                     
   …… 4分
        令,     
        解得．                 
                    …… 6分
        （2）∵
        ．         
                                …… 7分
        ∴．                   

        當(dāng)時(shí), , 則;
        當(dāng)時(shí), , 則;
        當(dāng)時(shí), , 則;
        當(dāng)時(shí), 猜想:
.                          
       …… 11分
        下面用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想正確.
        ① 當(dāng)時(shí),, 即成立;
        ② 假設(shè)當(dāng)時(shí), 猜想成立,
即,
          則,
        ∵,
        ∴.
        即當(dāng)時(shí)，猜想也正確.
        由①、②得當(dāng)時(shí), 成立.
        當(dāng)時(shí),.               
                               …… 13分
        綜上所述, 當(dāng)時(shí), ; 當(dāng)時(shí),.         
…… 14分
        另法( 證明當(dāng)時(shí), 可用下面的方法):
        當(dāng)時(shí), C + C + C+ C
                            

                            

                            
.
                    

         
        21. (本小題滿分14分)
        解：（1）當(dāng)時(shí)，，
        ∴.                    

               令=0, 得 .                                    
…… 2分                   

        當(dāng)時(shí),, 則在上單調(diào)遞增;
        當(dāng)時(shí),, 則在上單調(diào)遞減;
        當(dāng)時(shí),, 在上單調(diào)遞增.                   
…… 4分    
        ∴ 當(dāng)時(shí), 取得極大值為;
        當(dāng)時(shí), 取得極小值為.        …… 6分
        （2） ∵ = ，
        ∴△= =  .                             

        ① 若a≥1，則△≤0，                                          
…… 7分
        ∴≥0在R上恒成立，
        ∴ f（x）在R上單調(diào)遞增 .                                                   

        ∵f（0），,                  

        ∴當(dāng)a≥1時(shí)，函數(shù)f（x）的圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)．        …… 9分  
        ② 若a＜1，則△＞0，
        ∴= 0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，不妨設(shè)為x1，x2，（x1<x2）．
        ∴x1+x2 = 2，x1x2 = a．   
        當(dāng)變化時(shí)，的取值情況如下表：                       

        x
        x1
        （x1，x2）
        x2
        +
        0
        －
        0
        +
        f（x）
        ㄊ
        極大值
         
        ㄋ
        極小值
         
        ㄊ
                                               …… 11分
        ∵,
        ∴.
        ∴
                
                
                .
        同理.
        ∴
        .
                 
令f（x1）?f（x2）＞0,  解得a＞．                                    

                  而當(dāng)時(shí),,
                 
故當(dāng)時(shí), 函數(shù)f（x）的圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn).          
…… 13分                            

        綜上所述，a的取值范圍是．                                 
…… 14分
         
         
         
         
         
         
        2009年廣州市高三年級(jí)調(diào)研測(cè)試
        數(shù)  學(xué)（理科）
        二、填空題: 本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分．其中13 ~ 15題是選做題，考生只能選做兩題，三題全答的，只計(jì)算前兩題得分. 把答案填在下面的橫線上.
        9．                  
   10.            
  11.            
  12.            

         
        13.                 &
				
	
        
		
        


        同步練習(xí)冊(cè)答案