2008學(xué)年度第一學(xué)期上海市普陀區(qū)高三年級質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)試卷（理科）2008.12

說明：本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。本套試卷另附答題紙，每道題的解答必須寫在答題紙的相應(yīng)位置，本卷上任何解答都不作評分依據(jù)。

 

一、填空題（本大題滿分55分）本大題共有11小題，要求直接將結(jié)果填寫在答題紙對應(yīng)的空格中.每個(gè)空格填對得5分，填錯(cuò)或不填在正確的位置一律得零分.

1. 已知集合，集合,則            .

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2. 拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為              .

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3. 已知函數(shù)，則          .

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4. 設(shè)定義在上的函數(shù)滿足，若，則         .

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5. 已知兩直線方程分別為、，若，則直線的一個(gè)法向量為               .

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6. 已知，且為鈍角，則           .

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7. 在的二面角內(nèi)放一個(gè)半徑為的球，使球與兩個(gè)半平面各只有一個(gè)公共點(diǎn)（其過球心且垂直于二面角的棱的直截面如圖所示），則這兩個(gè)公共點(diǎn)AB之間的球面距離為             .

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8. 設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為. 若，且，則正整數(shù)         . 

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9. 一個(gè)圓柱形容器的軸截面尺寸如右圖所示，容器內(nèi)有一個(gè)實(shí)心的球，球的直徑恰等于圓柱的高.現(xiàn)用水將該容器注滿，然后取出該球（假設(shè)球的密度大于水且操作過程中水量損失不計(jì)），則球取出后，容器中水面的高度為            cm. （精確到0.1cm）

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10. 已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是               ．

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11. 下列有關(guān)平面向量分解定理的四個(gè)命題中，所有正確命題的序號是                 . （填寫命題所對應(yīng)的序號即可）

  ① 一個(gè)平面內(nèi)有且只有一對不平行的向量可作為表示該平面所有向量的基；

  ② 一個(gè)平面內(nèi)有無數(shù)多對不平行向量可作為表示該平面內(nèi)所有向量的基； 

  ③ 平面向量的基向量可能互相垂直；

④ 一個(gè)平面內(nèi)任一非零向量都可唯一地表示成該平面內(nèi)三個(gè)互不平行向量的線性組合.

 

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二、選擇題（本大題滿分16分）本大題共有4題，每題有且只有一個(gè)結(jié)論是正確的，必須把正確結(jié)論的代號寫在答題紙相應(yīng)的空格中. 每題選對得4分，不選、選錯(cuò)或選出的代號超過一個(gè)（不論是否都寫在空格內(nèi)），或者沒有填寫在題號對應(yīng)的空格內(nèi)，一律得零分.

12. 對任意的實(shí)數(shù)、，下列等式恒成立的是                             （    ）

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A． ；

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B． ；

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C． ；

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D． .

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13. 若平面向量和互相平行，其中.則（    ）    

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A.  或0；    B. ；       C.  2或；     D. 或.

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14. 設(shè)、為兩條直線，、為兩個(gè)平面. 下列四個(gè)命題中，正確的命題是 （　　）

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A. 若、與所成的角相等，則；  B. 若；

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C. 若，則；   D. 若，，則.

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15. 若不等式成立的一個(gè)充分非必要條件是，則

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實(shí)數(shù)的取值范圍是                                                   (     )

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A. ；    B. ；    C. ；    D. 以上結(jié)論都不對.

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三、解答題（本大題滿分79分）本大題共有6題，解答下列各題必須在答題紙規(guī)定的方框內(nèi)寫出必要的步驟.

16. （本題滿分12分）設(shè)點(diǎn)在橢圓的長軸上，點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn). 當(dāng)的模最小時(shí)，點(diǎn)恰好落在橢圓的右頂點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

 

 

 

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17. （本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分）

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已知關(guān)于的不等式，其中.

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（1）           當(dāng)變化時(shí)，試求不等式的解集；

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（2）           對于不等式的解集，若滿足（其中為整數(shù)集）. 試探究集合能否為有限集？若能，求出使得集合中元素個(gè)數(shù)最少的的所有取值，并用列舉法表示集合；若不能，請說明理由.

 

 

 

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18. （本題滿分15分，第1小題7分，第2小題8分）

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如圖，在直三棱柱中，，，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn).

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（1）求異面直線與所成角的大��；

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（2）若直三棱柱的體積為，求四棱錐的體積.

 

 

 

 

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19. （本題滿分16分，第1小題10分，第2小題6分）

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在某個(gè)旅游業(yè)為主的地區(qū)，每年各個(gè)月份從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)會發(fā)生周期性的變化.  現(xiàn)假設(shè)該地區(qū)每年各個(gè)月份從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)可近似地用函數(shù)來刻畫. 其中：正整數(shù)表示月份且，例如時(shí)表示1月份；和是正整數(shù)；.

統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，該地區(qū)每年各個(gè)月份從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)有以下規(guī)律：

① 各年相同的月份，該地區(qū)從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)基本相同；

② 該地區(qū)從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)最多的8月份和最少的2月份相差約400人；

③ 2月份該地區(qū)從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)約為100人，隨后逐月遞增直到8月份達(dá)到最多.

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（1） 試根據(jù)已知信息，確定一個(gè)符合條件的的表達(dá)式；

（2） 一般地，當(dāng)該地區(qū)從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)超過400人時(shí)，該地區(qū)也進(jìn)入了一年中的旅游“旺季”. 那么，一年中的哪幾個(gè)月是該地區(qū)的旅游“旺季”？請說明理由.

 

 

 

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20. （本題滿分22分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題12分）

定義：將一個(gè)數(shù)列中部分項(xiàng)按原來的先后次序排列所成的一個(gè)新數(shù)列稱為原數(shù)列的一個(gè)子數(shù)列.

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已知無窮等比數(shù)列的首項(xiàng)、公比均為.

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（1）試求無窮等比子數(shù)列（）各項(xiàng)的和；

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（2）是否存在數(shù)列的一個(gè)無窮等比子數(shù)列，使得它各項(xiàng)的和為？若存在，求出所有滿足條件的子數(shù)列的通項(xiàng)公式；若不存在，請說明理由；

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（3）試設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)學(xué)問題，研究：是否存在數(shù)列的兩個(gè)（或兩個(gè)以上）無窮等比子數(shù)列，使得其各項(xiàng)和之間滿足某種關(guān)系.請寫出你的問題以及問題的研究過程和研究結(jié)論.

【第3小題說明：本小題將根據(jù)你所設(shè)計(jì)的問題的質(zhì)量分層評分；問題的表達(dá)形式可以參考第2小題的表述方法.】

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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一、填空題：（5’×11＝55’）

題號

1

2

3

4

5

6

答案

0

2

題號

7

8

9

10

11

 

答案

4

8.3

②、③

 

二、選擇題：（4’×4＝16’）

題號

12

13

14

15

答案

A

C

B

B

三、解答題：（12’＋14’＋15’＋16’＋22’＝79’）

16.（理）解：設(shè)為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，由于橢圓方程為，故．

因?yàn)?sub>，所以

    推出．

依題意可知，當(dāng)時(shí)，取得最小值．而，

故有，解得．

又點(diǎn)在橢圓的長軸上，即. 故實(shí)數(shù)的取值范圍是．

 

…2

 

 

…6

 

 

…8

 

 

 

…10

 

…12

16.（文）解：由條件，可得，故左焦點(diǎn)的坐標(biāo)為.

設(shè)為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，由于橢圓方程為，故．

因?yàn)?sub>，所以

         ,

由二次函數(shù)性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，取得最小值4．

所以，的模的最小值為2，此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為.

 

 

…2

 

 

 

 

…6

 

 

…8

 

 

…10

 

…12

17. 解：（1）當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)且時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，；（不單獨(dú)分析時(shí)的情況不扣分）

當(dāng)時(shí)，.

（2） 由（1）知：當(dāng)時(shí)，集合中的元素的個(gè)數(shù)無限；

當(dāng)時(shí)，集合中的元素的個(gè)數(shù)有限，此時(shí)集合為有限集.

因?yàn)?sub>，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，

所以當(dāng)時(shí)，集合的元素個(gè)數(shù)最少.

此時(shí)，故集合.

 

…2

 

…4

 

 

…6

 

…8

 

 

 

…12

 

…14

18.(理) （本題滿分15分，第1小題7分，第2小題8分）

解：（1）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè).

依題意，可得點(diǎn)的坐標(biāo)，，.

    于是，，.

 由，則異面直線與所成角的大小為.

 

（2）解：連結(jié).  由，是的中點(diǎn)，得;

由面，面，得.

又，因此面

由直三棱柱的體積為.可得.

所以，四棱錐的體積為

.

 

 

 

 

 

…3

 

 

 

 

 

…7

 

 

 

…9

 

 

 

 

…11

 

 

…13

 

 

 

 

…15

18. （文）（本題滿分15分，第1小題6分，第2小題9分）

解：

 

 

 

 （2）解：如圖所示. 由，，則面.所以，四棱錐的體積為.

 

 

 

 

 

 

…3

 

 

 

 

 

…6

 

 

 

 

 

 

 

…10

 

…15

19．解：（1）根據(jù)三條規(guī)律，可知該函數(shù)為周期函數(shù)，且周期為12.

由此可得，；

由規(guī)律②可知，，

；

又當(dāng)時(shí)，，

所以，，由條件是正整數(shù)，故取.

 綜上可得，符合條件.

（2） 解法一：由條件，，可得

，

，

，.

因?yàn)?sub>，，所以當(dāng)時(shí)，，

故，即一年中的7，8，9，10四個(gè)月是該地區(qū)的旅游“旺季”.

解法二：列表，用計(jì)算器可算得

月份

…

6

7

8

9

10

11

…

人數(shù)

…

383

463

499

482

416

319

…

故一年中的7，8，9，10四個(gè)月是該地區(qū)的旅游“旺季”.

 

 

…3

 

 

…6

 

 

 

…9

 

…10

 

 

 

 

 

…12

 

 

 

 

 

…14

 

 

 

 

…16

 

 

 

…15

 

 

…16

20.解：（1）依條件得： 則無窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和為：

     ；

  （2）解法一：設(shè)此子數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，由條件得：，

則，即    

而  則 .

所以，滿足條件的無窮等比子數(shù)列存在且唯一，它的首項(xiàng)、公比均為，

其通項(xiàng)公式為，.

解法二：由條件，可設(shè)此子數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為.

由………… ①

又若，則對每一都有………… ②

從①、②得；

則；

因而滿足條件的無窮等比子數(shù)列存在且唯一，此子數(shù)列是首項(xiàng)、公比均為無窮等比子數(shù)列，通項(xiàng)公式為，.

 

 

 

 

…4

 

 

 

 

…7

 

…9

 

 

 

 

…10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

…7

 

 

 

…9

 

 

 

…10

（3）以下給出若干解答供參考，評分方法參考本小題閱卷說明：

問題一：是否存在數(shù)列的兩個(gè)不同的無窮等比子數(shù)列，使得它們各項(xiàng)的和互為倒數(shù)？若存在，求出所有滿足條件的子數(shù)列；若不存在，說明理由.

解：假設(shè)存在原數(shù)列的兩個(gè)不同的無窮等比子數(shù)列，使它們的各項(xiàng)和之積為1。設(shè)這兩個(gè)子數(shù)列的首項(xiàng)、公比分別為和，其中且或，則

，

因?yàn)榈仁阶筮吇驗(yàn)榕紨?shù)，或?yàn)橐粋�(gè)分?jǐn)?shù)，而等式右邊為兩個(gè)奇數(shù)的乘積，還是一個(gè)奇數(shù)。故等式不可能成立。所以這樣的兩個(gè)子數(shù)列不存在。

【以上解答屬于層級3，可得設(shè)計(jì)分4分，解答分6分】

問題二：是否存在數(shù)列的兩個(gè)不同的無窮等比子數(shù)列，使得它們各項(xiàng)的和相等？若存在，求出所有滿足條件的子數(shù)列；若不存在，說明理由.

解：假設(shè)存在原數(shù)列的兩個(gè)不同的無窮等比子數(shù)列，使它們的各項(xiàng)和相等。設(shè)這兩個(gè)子數(shù)列的首項(xiàng)、公比分別為和，其中且或，則

………… ①

若且，則①，矛盾；若且，則①

，矛盾；故必有且，不妨設(shè)，則

①………… ②

1當(dāng)時(shí)，②，等式左邊是偶數(shù)，右邊是奇數(shù)，矛盾；

2當(dāng)時(shí)，②

或

   ，

兩個(gè)等式的左、右端的奇偶性均矛盾；

綜合可得，不存在原數(shù)列的兩個(gè)不同的無窮等比子數(shù)列，使得它們的各項(xiàng)和相等。

【以上解答屬于層級4，可得設(shè)計(jì)分5分，解答分7分】

問題三：是否存在原數(shù)列的兩個(gè)不同的無窮等比子數(shù)列，使得其中一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)和等于另一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)和的倍？若存在，求出所有滿足條件的子數(shù)列；若不存在，說明理由.

解：假設(shè)存在滿足條件的原數(shù)列的兩個(gè)不同的無窮等比子數(shù)列。設(shè)這兩個(gè)子數(shù)列的首項(xiàng)、公比分別為和，其中且或，則

，

顯然當(dāng)時(shí)，上述等式成立。例如取，，得：

第一個(gè)子數(shù)列：，各項(xiàng)和；第二個(gè)子數(shù)列：，

各項(xiàng)和，有，因而存在原數(shù)列的兩個(gè)不同的無窮等比子數(shù)列，使得其中一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)和等于另一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)和的倍。

【以上解答屬層級3，可得設(shè)計(jì)分4分，解答分6分.若進(jìn)一步分析完備性，可提高一個(gè)層級評分】

問題四：是否存在原數(shù)列的兩個(gè)不同的無窮等比子數(shù)列，使得其中一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)和等于另一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)和的倍？并說明理由. 解（略）：存在。

問題五：是否存在原數(shù)列的兩個(gè)不同的無窮等比子數(shù)列，使得其中一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)和等于另一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)和的倍？并說明理由. 解（略）：不存在.

【以上問題四、問題五等都屬于層級4的問題設(shè)計(jì)，可得設(shè)計(jì)分5分。解答分最高7分】

 

 

2008學(xué)年度第一學(xué)期上海市普陀區(qū)高三年級質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)試卷（文科）2008.12

說明：本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。本套試卷另附答題紙，每道題的解答必須寫在答題紙的相應(yīng)位置，本卷上任何解答都不作評分依據(jù)。

 

一、填空題（本大題滿分55分）本大題共有11小題，要求直接將結(jié)果填寫在答題紙對應(yīng)的空格中.每個(gè)空格填對得5分，填錯(cuò)或不填在正確的位置一律得零分.

1. 已知集合，集合,則            .

2. 拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為              .

3. 已知函數(shù)，則          .

4. 設(shè)定義在上的函數(shù)滿足，若，則


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