高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)--歸納―猜想―證明

 

（一）知識(shí)歸納：

由事物的部分特殊事例猜想出事物的一般結(jié)論，這種方法人們稱為“不完全歸納法”，用不完全歸納法得出的結(jié)論需要經(jīng)過證明，因此全部過程可以小結(jié)為下面程序：

①計(jì)算命題取特殊值時(shí)的結(jié)論；②對(duì)這些結(jié)果進(jìn)行分析，探索數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，并猜想命題的一般結(jié)論；③證明所猜想的結(jié)論.

（二）學(xué)習(xí)要點(diǎn)：

在中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)，“歸納―猜想―證明”的推理方法一般只局限于數(shù)列的內(nèi)容，而且與正整數(shù)n有關(guān)，其它內(nèi)容中很少有要求，解決問題時(shí)要注意以下幾點(diǎn)，①計(jì)算特例時(shí)，不僅僅是簡單的算數(shù)過程，有時(shí)要通過計(jì)算過程發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)的變化規(guī)律；②猜想必須準(zhǔn)確，絕對(duì)不能猜錯(cuò)，否則將徒勞無功；③如果猜想出來的結(jié)論與正整數(shù)n有關(guān)，一般用數(shù)學(xué)歸納法證明.

【例1】已知數(shù)列滿足關(guān)系式N₊），

（Ⅰ）用a表法a₂，a₃，a₄；

（Ⅱ）猜想a_n的表達(dá)式（用a和n表示），并證明你的結(jié)論.

[解析]（Ⅰ）

（Ⅱ）（）  猜想下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

1°．當(dāng)n=1時(shí)，當(dāng)n=1結(jié)論正確；

2°．假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)結(jié)論正確，即，

∴當(dāng)n=k+1時(shí) 

=當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論也正確；

根據(jù)1°與2°命題對(duì)一切n∈N*都正確.

[評(píng)析]“歸納―猜想―證明”是解決數(shù)列的某些問題的一種重要方法，對(duì)于一些變換技巧比較高的問題，如果能通過這種方法解答成功，則解答過程比較其它方法更容易.

【例2】已知數(shù)列滿足：計(jì)算a₂，a₃，a₄的值，由此歸納出a_n的公式，并證明你的結(jié)論.

[解析]很容易算出a₂=5，a₃=16，a₄=44，但由此猜想出結(jié)論顯然是非常困難的，下面作一些探索.

∵a₂=2 a₁+3×2°=2×1+3×2°，

a₃=2（2×1+3×2°）+3×2¹=2²×1+2×3×2¹，

a₄=2（2²×1+2×3×2¹）+3×2²=2³×1+3×3×2²；

猜想a_n=2^n－1+（n－1）×3×2^n－2=2^n－2（3n－1）；

用數(shù)學(xué)歸納法證明：

1°．當(dāng)n=1時(shí)，a₁=2^－1×=1，結(jié)論正確；

2°．假設(shè)n=k時(shí)，a_k=2^k－2（3k－1）正確，

∴當(dāng)n=k+1時(shí)， =

結(jié)論正確；

由1°、2°知對(duì)n∈N*有

[評(píng)析]如果計(jì)算出來的數(shù)據(jù)很難猜出結(jié)論時(shí)，應(yīng)考慮整理計(jì)算過程，探索數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，看看能否猜想成功.

【例3】已知等差數(shù)列中，a₂=8，前10項(xiàng)的和S₁₀=185，

（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式a_n；

（Ⅱ）若從數(shù)列中依次取出第2，4，8，…，2ⁿ，…項(xiàng)，按原來的順序排成一個(gè)新數(shù)列，試求新數(shù)列的前n項(xiàng)和A_n；

（Ⅲ）設(shè) B_n=n（5+3 a_n），試比較A_n和B_n的大小，并說明理由.

[解析]（Ⅰ）設(shè)公差為d，∴

（Ⅱ）設(shè)新數(shù)列為，∴ 

∴A_n=3×（2+2²+2³+…+2ⁿ）+2n=3×2^n＋1+2n－6；

（Ⅲ）∵

A₄=3×32+2=98，A₅=3×64+4=196，A₆=3×128+6=390，A₇=3×256+8=776，……

而B₁=20，B₂=58，B₃=114，B₄=188，B₅=280，B₆=390，B₇=518，……

①當(dāng)n=1，2，3，4，5時(shí)，B_n>A_n；

②當(dāng)n=6時(shí)，B₆=A₆；

③當(dāng)n≥7，且n∈N*時(shí)，猜想A_n>B_n，用數(shù)學(xué)歸納法證明：

1°．當(dāng)n=7時(shí)，A₇=766>518=B₇，結(jié)論正確；

2°．假設(shè)當(dāng)n=k（k≥7）時(shí)，A_k>B_k，即3×2^k+1+2k－6>9k²+11k2^k+1>3k²+3k+2，

∴n=k+1時(shí)，

=6×2 ^k+2－9k²－27k－24

=6×[2 ^k+1－（3k²+3k+2）]+6×（3k²+3k+2）－9k²－27k－24

=6×[2 ^k+1－（3k²+3k+2）]+9k²－9k－12

>9k²－9k－12=9k（k－1）－12≥9×7×（7－1）－12>0

∴A_k+1>B_k+1，即n=k+1時(shí)，結(jié)論也正確；

根據(jù)1°、2°知當(dāng)n≥7且n∈N*時(shí)，有A_n>B_n.

[評(píng)析]從上面例子可以看出，歸納猜想不僅僅是要有對(duì)數(shù)據(jù)的觀察能力，還需要有一定的經(jīng)驗(yàn)，否則很難作出上述準(zhǔn)確的猜想.

【例4】已知數(shù)列滿足：問是否存在常數(shù)p、q，使得對(duì)一切n∈N*都有并說明理由.

[解析] ∵設(shè)存在這樣的常數(shù)p、q，

∴由此猜想，對(duì)n∈N*，有

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)結(jié)論：

1°．當(dāng)n=1時(shí)，，結(jié)論正確；

2°．假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)結(jié)論正確，即  ∴當(dāng)n=k+1時(shí)，

∴當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論正確，故當(dāng)n∈N*時(shí)，成立.

[評(píng)析]例4是一類探索題型，由條件直接推出結(jié)論是非常困難的，通過歸納―猜想―證明的方法，難度不大.

 

 

 

《訓(xùn)練題》

一、選擇題

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二、填空題：

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三、解答題

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