(25分)從赤道上的C點(diǎn)發(fā)射洲際導(dǎo)彈，使之精確地?fù)糁斜睒O點(diǎn)N，要求發(fā)射所用的能量最少.假定地球是一質(zhì)量均勻分布的半徑為R的球體，R=6400km.已知質(zhì)量為m的物體在地球引力作用下作橢圓運(yùn)動(dòng)時(shí)，其能量E與橢圓半長(zhǎng)軸a的關(guān)系為式中M為地球質(zhì)量，G為引力常量.

1.假定地球沒(méi)有自轉(zhuǎn)，求最小發(fā)射速度的大小和方向(用速度方向與從地心O到發(fā)射點(diǎn)C的連線之間的夾角表示).

2.若考慮地球的自轉(zhuǎn)，則最小發(fā)射速度的大小為多少？

3.試導(dǎo)出。

(25分)圖中正方形ABCD是水平放置的固定梁的橫截面，AB是水平的，截面的邊長(zhǎng)都是l.一根長(zhǎng)為2l的柔軟的輕細(xì)繩，一端固定在A點(diǎn)，另一端系一質(zhì)量為m的小球，初始時(shí)，手持小球，將繩拉直，繞過(guò)B點(diǎn)使小球處于C點(diǎn).現(xiàn)給小球一豎直向下的初速度v₀，使小球與CB邊無(wú)接觸地向下運(yùn)動(dòng)，當(dāng)，分別取下列兩值時(shí)，小球?qū)⒋虻搅荷系暮翁帲?/p>

1.

2.

設(shè)繩的伸長(zhǎng)量可不計(jì)而且繩是非彈性的.

(25分)圖示為一固定不動(dòng)的絕緣的圓筒形容器的橫截面，其半徑為R，圓筒的軸線在O處.圓筒內(nèi)有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向與圓筒的軸線平行，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B.筒壁的H處開(kāi)有小孔，整個(gè)裝置處在真空中.現(xiàn)有一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶電粒子P以某一初速度沿筒的半徑方向從小孔射入圓筒，經(jīng)與筒壁碰撞后又從小孔射出圓筒.設(shè)：筒壁是光滑的，P與筒壁碰撞是彈性的，P與筒壁碰撞時(shí)其電荷量是不變的.若要使P與筒壁碰撞的次數(shù)最少，問(wèn)：

1.P的速率應(yīng)為多少？

2.P從進(jìn)入圓筒到射出圓筒經(jīng)歷的時(shí)間為多少？

(25分)如圖所示，兩個(gè)金屬輪A₁、A₂，可繞通過(guò)各自中心并與輪面垂直的固定的光滑金屬軸O₁和O₂轉(zhuǎn)動(dòng)，O₁和O₂相互平行，水平放置.每個(gè)金屬輪由四根金屬輻條和金屬環(huán)組成，A₁輪的輻條長(zhǎng)為a₁、電阻為R₁，A₂輪的輻條長(zhǎng)為a₂、電阻為R₂，連接輻條的金屬環(huán)的寬度與電阻都可以忽略.半徑為a₀的絕緣圓盤(pán)D與A₁同軸且固連在一起.一輕細(xì)繩的一端固定在D邊緣上的某點(diǎn)，繩在D上繞足夠匝數(shù)后，懸掛一質(zhì)量為m的重物P.當(dāng)P下落時(shí)，通過(guò)細(xì)繩帶動(dòng)D和A₁繞O₁軸轉(zhuǎn)動(dòng).轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，A₁、A₂保持接觸，無(wú)相對(duì)滑動(dòng)；兩輪與各自細(xì)軸之間保持良好的電接觸；兩細(xì)軸通過(guò)導(dǎo)線與一阻值為R的電阻相連.除R和A₁、A₂兩輪中輻條的電阻外，所有金屬的電阻都不計(jì).整個(gè)裝置處在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)方向與轉(zhuǎn)軸平行.現(xiàn)將P釋放，試求P勻速下落時(shí)的速度.

(20分)一對(duì)正、負(fù)電子可形成一種壽命比較短的稱為電子偶素的新粒子.電子偶素中的正電子與負(fù)電子都以速率v繞它們連線的中點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng).假定玻爾關(guān)于氫原子的理論可用于電子偶素，電子的質(zhì)量m、速率v和正、負(fù)電子間的距離r的乘積也滿足量子化條件.即式中n稱為量子數(shù)，可取整數(shù)值1，2，3，…；h為普朗克常量.試求電子偶素處在各定態(tài)時(shí)的r和能量以及第一激發(fā)態(tài)與基態(tài)能量之差.

(20分)一根長(zhǎng)為L(zhǎng)(以厘米為單位)的粗細(xì)均勻的、可彎曲的細(xì)管，一端封閉，一端開(kāi)口，處在大氣中，大氣的壓強(qiáng)與H厘米高的水銀柱產(chǎn)生的壓強(qiáng)相等，已知管長(zhǎng)L＞H.現(xiàn)把細(xì)管彎成L形，如圖所示.假定細(xì)管被彎曲時(shí)，管長(zhǎng)和管的內(nèi)徑都不發(fā)生變化.可以把水銀從管口徐徐注入細(xì)管而不讓細(xì)管中的氣體泄出.當(dāng)細(xì)管彎成L形時(shí)，以l表示其豎直段的長(zhǎng)度，問(wèn)l取值滿足什么條件時(shí)，注入細(xì)管的水銀量為最大值？給出你的論證并求出水銀量的最大值(用水銀柱的長(zhǎng)度表示).

（8分）有一靜電場(chǎng)，其電勢(shì)U隨坐標(biāo)x的改變而變化，變化的圖線如圖1所示.試在圖2中畫(huà)出該靜電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)E隨x變化的圖線(設(shè)場(chǎng)強(qiáng)沿x軸正方向時(shí)取正值，場(chǎng)強(qiáng)沿x軸負(fù)方向時(shí)取負(fù)值)

（12分）如圖所示，電荷量為q₁的正點(diǎn)電荷固定在坐標(biāo)原點(diǎn)O處，電荷量為q₂的正點(diǎn)電荷固定在x軸上，兩電荷相距l(xiāng).已知q₂=2q₁.

 (i)求在x軸上場(chǎng)強(qiáng)為零的P點(diǎn)的坐標(biāo)；

 (ii)若把一電荷量為q₀的點(diǎn)電荷放在P點(diǎn)，試討論它的穩(wěn)定性(只考慮q₀被限制在沿x軸運(yùn)動(dòng)和被限制在沿垂直于x軸方向運(yùn)動(dòng)這兩種情況)。

（8分）有兩個(gè)凸透鏡，它們的焦距分別為f₁和f₂，還有兩個(gè)凹透鏡，它們的焦距分別為f₃和f₄.已知，f₁＞f₂＞|f₃|＞|f₄|.如果要從這四個(gè)透鏡中選取兩個(gè)透鏡，組成一架最簡(jiǎn)單的單筒望遠(yuǎn)鏡，要求能看到放大倍數(shù)盡可能大的正立的像，則應(yīng)選焦距為_(kāi)___的透鏡作為物鏡，應(yīng)選焦距為_(kāi)___的透鏡作為目鏡。

（12分）老爺爺?shù)难劬κ抢匣ㄑ?

 (i)一物體P放在明視距離處，老爺爺看不清楚.試在示意圖1中畫(huà)出此時(shí)P通過(guò)眼睛成像的光路示意圖.

 (ii)戴了一副300度的老花鏡后，老爺爺就能看清楚放在明視距離處的物體P，試在示意圖2中畫(huà)出P通過(guò)老花鏡和眼睛成像的光路示意圖.

 (iii)300度的老花鏡的焦距f=____m.