Question

(25分)從赤道上的C點(diǎn)發(fā)射洲際導(dǎo)彈，使之精確地?fù)糁斜睒O點(diǎn)N，要求發(fā)射所用的能量最少.假定地球是一質(zhì)量均勻分布的半徑為R的球體，R=6400km.已知質(zhì)量為m的物體在地球引力作用下作橢圓運(yùn)動(dòng)時(shí)，其能量E與橢圓半長(zhǎng)軸a的關(guān)系為式中M為地球質(zhì)量，G為引力常量.

　　

1.假定地球沒(méi)有自轉(zhuǎn)，求最小發(fā)射速度的大小和方向(用速度方向與從地心O到發(fā)射點(diǎn)C的連線之間的夾角表示).

2.若考慮地球的自轉(zhuǎn)，則最小發(fā)射速度的大小為多少？

3.試導(dǎo)出。

Answer 1

解析：

1.這是一個(gè)大尺度運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)彈發(fā)射后，在地球引力作用下將沿橢圓軌道運(yùn)動(dòng).如果導(dǎo)彈能打到N點(diǎn)，則此橢圓一定位于過(guò)地心O、北極點(diǎn)N和赤道上的發(fā)射點(diǎn)C組成的平面(此平面是C點(diǎn)所在的子午面)內(nèi)，因此導(dǎo)彈的發(fā)射速度(初速度v)必須也在此平面內(nèi)，地心O是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn).根據(jù)對(duì)稱性，注意到橢圓上的C、N兩點(diǎn)到焦點(diǎn)O的距離相等，故所考察橢圓的長(zhǎng)軸是過(guò)O點(diǎn)垂直CN的直線，即圖上的直線AB，橢圓的另一焦點(diǎn)必在AB上.已知質(zhì)量為m的物體在質(zhì)量為M的地球的引力作用下作橢圓運(yùn)動(dòng)時(shí)，物體和地球構(gòu)成的系統(tǒng)的能量E(無(wú)窮遠(yuǎn)作為引力勢(shì)能的零點(diǎn))與橢圓半長(zhǎng)軸a的關(guān)系為(1)

　　要求發(fā)射的能量最少，即要求橢圓的半長(zhǎng)軸a最短.根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)可知，橢圓的兩焦點(diǎn)到橢圓上任一點(diǎn)的距離之和為2a，現(xiàn)C點(diǎn)到一個(gè)焦點(diǎn)O的距離是定值，等于地球的半徑R，只要位于長(zhǎng)軸上的另一焦點(diǎn)到C的距離最小，該橢圓的半長(zhǎng)軸就最小.顯然，當(dāng)另一焦點(diǎn)位于C到AB的垂線的垂足處時(shí)，C到該焦點(diǎn)的距離必最小.由幾何關(guān)系可知

　　　　(2)

　　設(shè)發(fā)射時(shí)導(dǎo)彈的速度為v，則有

　　　　(3)

　　解(1)、(2)、(3)式得　　(4)

　　因　　(5)

　　比較(4)、(5)兩式得　　(6)

　　代入有關(guān)數(shù)據(jù)得v=7.2km/s　　(7)

　　速度的方向在C點(diǎn)與橢圓軌道相切.根據(jù)解析幾何知識(shí)，過(guò)橢圓上一點(diǎn)的切線的垂直線，平分兩焦點(diǎn)到該點(diǎn)連線的夾角∠OCP.從圖中可看出，速度方向與OC的夾角

　　(8)

　　2.由于地球繞通過(guò)ON的軸自轉(zhuǎn)，在赤道上C點(diǎn)相對(duì)地心的速度為(9)

　　式中R是地球的半徑，T為地球自轉(zhuǎn)的周期，T=24×3600s=86400s，故

　　v_C=0.46km/s(10)

　　C點(diǎn)速度的方向垂直于子午面(圖中紙面).位于赤道上C點(diǎn)的導(dǎo)彈發(fā)射前也有與子午面垂直的速度v_C，為使導(dǎo)彈相對(duì)于地心速度位于子午面內(nèi)，且滿足(7)、(8)兩式的要求，導(dǎo)彈相對(duì)于地面(C點(diǎn))的發(fā)射速度應(yīng)有一大小等于v_C、方向與v_C相反的分速度，以使導(dǎo)彈在此方向相對(duì)于地心的速度為零，導(dǎo)彈的速度的大小為

　　(11)

　　代入有關(guān)數(shù)據(jù)得v′=7.4km/s　　(12)

　　它在赤道面內(nèi)的分速度與v_C相反，它在子午面內(nèi)的分速度滿足(7)、(8)兩式.

　　3.質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)在地球引力作用下的運(yùn)動(dòng)服從機(jī)械能守恒定律和開(kāi)普勒定律，故對(duì)于近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)有下列關(guān)系式

　　　　(13)

　　　　(14)

　　式中v₁、v₂分別為物體在遠(yuǎn)地點(diǎn)和近地點(diǎn)的速度，r₁、r₂為遠(yuǎn)地點(diǎn)和近地點(diǎn)到地心的距離.將(14)式中的v₁代入(13)式，經(jīng)整理得

　　　　(15)

　　注意到r₁+r₂=2a　　(16)

　　得　　(17)

　　因　　(18)

　　由(16)、(17)、(18)式得　　(19)

　　評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：(本題25分)

　　1.14分.(2)式6分，(3)式2分，(6)、(7)式共4分，(8)式2分.

　　2.6分.(11)式4分，(12)式2分.

　　3.5分.(13)、(14)式各1分，(19)式3分.