Question

9．如圖所示，水平方向的勻強(qiáng)磁場呈帶狀分布，兩區(qū)域磁感應(yīng)強(qiáng)度不同，寬度都是L，間隔是2L．邊長為L、質(zhì)量為m、電阻為R的正方形金屬線框，處于豎直平面且與磁場方向垂直，底邊平行于磁場邊界，離第一磁場的上邊界的距離為L．線框從靜止開始自由下落，當(dāng)線框穿過兩磁場區(qū)域時(shí)恰好都能勻速運(yùn)動(dòng)．若重力加速度為g，求：
（1 ）第一個(gè)磁場區(qū)域的磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁；
（2）線框從開始下落到剛好穿過第二磁場區(qū)域的過程中產(chǎn)生的總熱量Q．
（3 ）若線框進(jìn)入第一個(gè)磁場過程中，通過線框任一橫截面的電荷量為q₁，進(jìn)入第二個(gè)磁場過程中，通過線框任一橫截面的電荷量為q₂，求q₁與q₂之比．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)機(jī)械能守恒定律可求得線框剛進(jìn)入磁場時(shí)的速度，再根據(jù)E=BLv可求得電動(dòng)勢，根據(jù)歐姆定律可求得電流，根據(jù)安培力公式受求出安培力大小，再根據(jù)平衡條件可求得磁感應(yīng)強(qiáng)度；
（2）明確線框下落過程中能量轉(zhuǎn)化關(guān)系，根據(jù)能量守恒定律可求得產(chǎn)生的總熱量；
（3）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律可求得平均電動(dòng)勢，再結(jié)合歐姆定律和電量的計(jì)算公式可求得電量的表達(dá)式，再根據(jù)在兩個(gè)磁場中均做勻速運(yùn)動(dòng)，由平衡條件可求得B與L的關(guān)系，聯(lián)立即可求得電量比值．

解答 解：（1）從線框開始運(yùn)動(dòng)到剛要進(jìn)入第一個(gè)磁場時(shí)，設(shè)此時(shí)線框的速度為v₁
由機(jī)械能守恒定律得：mgL=$\frac{1}{2}$m${v}_{1}^{2}$…①
穿過磁場時(shí)切割磁場產(chǎn)生的電動(dòng)勢為：E₁=B₁Lv₁…②
根據(jù)歐姆定律得：I₁=$\frac{{E}_{1}}{R}$…③
線框受到的安培力：F₁=B₁I₁L…④
因?yàn)榫�框做勻速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平衡可得：mg=F₁ …⑤
聯(lián)立①②③④⑤式得：B₁=$\frac{1}{L}\sqrt{\frac{mgR}{\sqrt{2gL}}}$
（2）從線框開始運(yùn)動(dòng)到剛要進(jìn)入第二個(gè)磁場時(shí)，做勻變速運(yùn)動(dòng)的距離為2L，設(shè)此時(shí)線框的速度為v₂，
根據(jù)勻變速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律可得：${v}_{2}^{2}$=4gL…⑥
從線框開始運(yùn)動(dòng)到剛好穿過第二個(gè)磁場，共下落了6L高度，
由能量守恒定律可得：6mgL=$\frac{1}{2}{mv}_{2}^{2}$+Q…⑦
由⑥⑦式得：Q=4mgL
（3）線框進(jìn)入每個(gè)磁場過程中，通過線框任一橫截面的電荷量為：
q=$\overline{I•}△t=\frac{\overline{E}}{R}△t=\frac{△φ}{△t•R}△t=\frac{B{L}^{2}}{R}$…⑧
線框進(jìn)入兩個(gè)磁場的過程均做勻速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平衡可得：mg=$\frac{{B}_{1}^{2}{L}^{2}{v}_{1}}{R}$=$\frac{{B}_{2}^{2}{L}^{2}{v}_{2}}{R}$…⑨
聯(lián)立①⑥⑧⑨式可得：$\frac{{q}_{1}}{{q}_{2}}=\frac{{B}_{1}}{{B}_{2}}=\sqrt{\frac{{v}_{2}}{{v}_{1}}}=\root{4}{2}$
答：（1 ）第一個(gè)磁場區(qū)域的磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁為$\frac{1}{L}\sqrt{\frac{mgR}{\sqrt{2gL}}}$
（2）線框從開始下落到剛好穿過第二磁場區(qū)域的過程中產(chǎn)生的總熱量Q為4mgL；
（3 ）若線框進(jìn)入第一個(gè)磁場過程中，通過線框任一橫截面的電荷量為q₁，進(jìn)入第二個(gè)磁場過程中，通過線框任一橫截面的電荷量為q₂，q₁與q₂中之比為$\root{4}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查電磁感應(yīng)與能量結(jié)合的綜合問題，關(guān)鍵在于正確分析運(yùn)動(dòng)過程和受力情況，再分析明確能量的轉(zhuǎn)化方向，從而正確利用電磁感應(yīng)規(guī)律以及功能關(guān)系進(jìn)行分析求解即可．