Question

15．如圖所示，太陽系各行星可近似看成在同一平面內沿同一方向繞太陽做勻速圓周運動．設天王星公轉周期為T₁，公轉半徑為R₁；地球公轉周期為T₂，公轉半徑為R₂．不計兩行星之間的引力作用，萬有引力常量為G，當地球和天王星運行到太陽兩側，且三者排成一條直線時，下列說法正確的是（　�。�

• A． 太陽的質量為$\frac{{{4π}^{2}{R}_{2}}^{2}}{{{GT}_{2}}^{2}}$
• B． 天王星公轉速度大于地球公轉速度
• C． 地球與天王星相距最近至少需經歷$\frac{{T}_{1}{T}_{2}}{2（{T}_{1}-{T}_{2}）}$
• D． 天王星公轉的向心加速度與地球公轉的向心加速度之比為$\frac{{{R}_{2}}^{2}}{{{R}_{1}}^{2}}$

Answer 1

分析 根據萬有引力提供向心力，結合天王星的軌道半徑和周期求出太陽的質量．根據軌道半徑的大小比較線速度的大小以及向心加速度之比．地球與天王星相距最近，兩者轉過的角度相差π，根據周期的大小求出經歷的時間．

解答 解：A、根據$G\frac{Mm}{{{R}_{2}}^{2}}=m{R}_{2}\frac{4{π}^{2}}{{T}_{2}^{2}}$得，太陽的質量M=$\frac{4{π}^{2}{R}_{2}^{3}}{G{T}_{2}^{2}}$，故A錯誤．
B、根據$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}=ma$，解得v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，因為天王星的軌道半徑較大，則線速度較�。�故B錯誤；
C、當地球和天王星運行到太陽兩側，三者排成一條直線，到地球與天王星相距最近，兩者轉過的角度相差π，所以$\frac{2π}{{T}_{2}}t-\frac{2π}{{T}_{1}}t=π$，解得t=$\frac{{T}_{1}{T}_{2}}{2（{T}_{1}-{T}_{2}）}$．故C正確．
D、根據$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}=ma$，解得：a=$\frac{GM}{{r}^{2}}$，天王星和地球的向心加速度之比為$\frac{{{R}_{2}}^{2}}{{{R}_{1}}^{2}}$．故D正確．
故選：CD

點評 本題要知道地球和天王星的最遠距離和最近距離是它們在一條連線上時，由幾何關系結合周期關系求解時間．掌握萬有引力提供向心力這一重要理論，并能靈活運用．