Question

1．如圖所示，質(zhì)量為m的小球用輕繩懸掛于O點，輕繩與豎直方向的夾角為θ，小球自A處靜止釋放，小球到達B點時，輕繩恰好斷裂．已知B點、地面上的O′點都在懸掛點O的正下方，且OO′的距離為h，求：
（1）輕繩最大承受力為多大？
（2）若只改變繩長，且繩的最大承受力不變，問繩長為多少時，小球落地點到地面上O′點的水平距離最大？最大的水平距離為多少？

Answer 1

分析 （1）從A到B的過程中，根據(jù)動能定理列式，根據(jù)在最低點，合力提供向心力，運用牛頓第二定律求出最大拉力．
（2）根據(jù)最大拉力，通過牛頓第二定律求出繩斷后的速度與繩長的關(guān)系，根據(jù)平拋運動求出平拋運動水平位移的表達式，通過數(shù)學(xué)方法二次函數(shù)求極值，求出l為多少時，x最大．

解答 解：（1）設(shè)繩長為l，繩能承受的最大拉力為F_m，在B點，根據(jù)向心力公式得：
${F}_{m}-mg=m\frac{{{v}_{B}}^{2}}{l}$，
從A到B的過程中，根據(jù)動能定理得：
$\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}=mgl（1-cosθ）$
解得：F_m=3mg-2mgcosθ．
（2）繩斷時球的速度為v₂．
有：${F}_{m}-mg=m\frac{{{v}_{2}}^{2}}{l′}$，解得${v}_{2}=\sqrt{2g（1-cosθ）l′}$．
繩斷后球做平拋運動，豎直位移為h-l′，水平位移為x，時間為t₂．
有：$h-l′=\frac{1}{2}g{{t}_{2}}^{2}$，x=v₂t₂．
得$x=2\sqrt{（1-cosθ）（hl′-l{′}^{2}）}$
當(dāng)l=$\frac{h}{2}$時，x有極大值，最大${x}_{max}=h\sqrt{1-cosθ}$．
答：（1）輕繩最大承受力為3mg-2mgcosθ；
（2）若只改變繩長，且繩的最大承受力不變，繩長為$\frac{h}{2}$時，小球落地點到地面上O′點的水平距離最大，最大的水平距離為$h\sqrt{1-cosθ}$．

點評 本題綜合了平拋運動和圓周運動兩個運動，關(guān)鍵知道平拋運動在豎直方向和水平方向上的運動規(guī)律，以及圓周運動向心力的來源．