Question

9．地球一晝夜的時間為T₀，萬有引力常量為G．查資料知道．地球赤道上的重力加速度比北極附近的重力加速度約小0.5%．若把地球看作質(zhì)量分布均勻的球體，引起重力加速度變化的原因是地球的自轉(zhuǎn)．
（1）根據(jù)題中所給字母和數(shù)據(jù)估算地球的密度；
（2）大家都知道T₀=24h．若設(shè)想地球自轉(zhuǎn)速度加快，在赤道上的物體會自動“漂浮”起來，求這時地球的自轉(zhuǎn)周期．

Answer 1

分析 質(zhì)量為m的物體在兩極所受地球的引力等于其所受的重力．根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律，在赤道的物體所受地球的引力等于其在兩極所受的重力聯(lián)立求解．

解答 解：（1）在兩極，有：F_萬=mg₀
在赤道處，由牛頓第二定律可得：${F}_{萬}-mg=mR\frac{4{π}^{2}}{{{T}_{0}}^{2}}$，
可得R=$\frac{（{g}_{0}-g）{{T}_{0}}^{2}}{4{π}^{2}}$，
在地球表面兩極有：$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m{g}_{0}$，解得地球的質(zhì)量M=$\frac{{g}_{0}{R}^{2}}{G}$，
則地球的密度ρ=$\frac{M}{\frac{4π{R}^{3}}{3}}$=$\frac{3π{g}_{0}}{G{{T}_{0}}^{2}（{g}_{0}-g）}$=$\frac{600π}{G{{T}_{0}}^{2}}$
（2）赤道上的物體恰好能飄起來，物體受到的萬有引力恰好提供向心力，由牛頓第二定律可得：
$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m{g}_{0}=mR\frac{4{π}^{2}}{{T′}^{2}}$，
解得$T′=\sqrt{\frac{{g}_{0}-g}{{g}_{0}}}{T}_{0}$=$\sqrt{\frac{0.5%}{1}}×24h$≈1.7h．
答：（1）地球的密度為$\frac{600π}{G{{T}_{0}}^{2}}$
（2）這時地球的自轉(zhuǎn)周期為1.7h．

點(diǎn)評 解答此題要清楚地球表面的物體受到的重力等于萬有引力，根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律，地球近地衛(wèi)星所受的萬有引力提供向心力